Фред имеет 900 монеток, суммарно стоимостью 1000 галеонов (каждая монета имеет натуральное число галеонов). Докажите

Тема: Математика - Доказательство суммы монеток

Пояснение: Для доказательства, что Фред обязательно может выбрать 100 монеток с общей стоимостью точно 200 галеонов, воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что Фред имеет n монеток, суммарно стоимостью s галеонов, где n >= 100 и s >= 200. Мы хотим доказать, что Фред обязательно может выбрать 100 монеток с общей стоимостью точно 200 галеонов.

Шаг 1: База индукции
Для n = 100, очевидно, что Фред может выбрать все 100 монеток, так как их общая стоимость уже равна 200 галеонов. Доказательство базы индукции завершено.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что для некоторого k >= 100, Фред может выбрать k монеток с общей стоимостью точно 200 галеонов.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что если предположение индукции верно для k, то оно также верно и для k + 1.

Предположим, что у Фреда есть k + 1 монеток с общей стоимостью s + p галеонов, где p - стоимость k+1-ой монетки. Разберем два случая:

Случай 1: p = 200
В этом случае, Фред может выбрать все k монеток, игнорируя k+1-ую монетку, и таким образом иметь 100 монеток с общей стоимостью 200 галеонов.

Случай 2: p < 200
В этом случае, Фред может исключить k+1-ую монетку из набора, и остаться с k монетками с общей стоимостью s галеонов. В соответствии с предположением индукции, Фред обязательно может выбрать 100 монеток из этих k, с общей стоимостью 200 галеонов.

В обоих случаях, имея набор k + 1 монеток, Фред обязательно может выбрать 100 монеток с общей стоимостью 200 галеонов.

Совет: Для лучшего понимания данной задачи, рассмотрите пример, где Фред имеет 10 монеток с общей стоимостью 20 галеонов.

Задание: Фред имеет 500 монеток, суммарно стоимостью 600 галеонов. Докажите, что Фред может выбрать 50 монеток с общей стоимостью точно 60 галеонов.