ФОРМУЛА НьютоНА-ЛЕЙБНИЦА НЕ ИМЕЕТ ОТНОШЕНИЯ К: а) зависимости определенного интеграла от выбора первообразной функции

Формула Ньютона-Лейбница (также известная как основная теорема исчисления) является одним из основных результатов математического анализа. Она устанавливает связь между производной функции и определенным интегралом от неё.

Обоснование первого ответа (а): Формула Ньютона-Лейбница не зависит от выбора первообразной функции при вычислении определенного интеграла. Она утверждает, что если функция F является первообразной функцией для f на отрезке [a, b], то определенный интеграл от f на этом отрезке может быть вычислен как разность значений F в точках a и b. Это означает, что соответствующие определенные интегралы будут одинаковыми, независимо от выбора первообразной функции F.

Обоснование второго ответа (б): Формула Ньютона-Лейбница также не требует вводить только одну произвольную постоянную при сложении интегралов. В общей формулировке формулы Ньютона-Лейбница, интегральная постоянная C, которая появляется при вычислении неопределенных интегралов, может быть любой константой. Это связано с тем, что при дифференцировании константа исчезает, а при интегрировании можно добавлять любую константу, не влияя на производную функции.

Обоснование третьего ответа (в): Формула Ньютона-Лейбница не говорит о равенстве приращений всех первообразных функций f(x) на отрезке [a, b]. Она утверждает только равенство значений определенного интеграла от функции f на отрезке [a, b] и разности значений первообразной функции F(x) в точках a и b.

Обоснование четвертого ответа (г): Формула Ньютона-Лейбница также не связана с подстановкой значений верхнего и нижнего пределов в первообразную функцию. Формула утверждает, что определенный интеграл от функции f на отрезке [a, b] может быть вычислен как разность значений первообразной функции F в точках a и b. Значения верхнего и нижнего пределов интегрирования нигде не встречаются в этой формуле.

Пример использования: Задача: Вычислить определенный интеграл ∫[0, 2] x^2 dx. По формуле Ньютона-Лейбница, мы можем найти первообразную функцию для f(x) = x^2, которой будет F(x) = (1/3)x^3. Затем, используя формулу Ньютона-Лейбница, мы вычисляем определенный интеграл ∫[0, 2] x^2 dx как разность значений F(x) в точках 2 и 0: F(2) - F(0) = (1/3)(2)^3 - (1/3)(0)^3 = 8/3.

Совет: Для лучшего понимания формулы Ньютона-Лейбница рекомендуется изучить базовые понятия и теоремы математического анализа, такие как производная функции и определенный интеграл. Это поможет увидеть связь между производной и интегралом и понять основные идеи формулы.

Упражнение: Вычислите определенный интеграл ∫[1, 4] (2x + 3) dx, используя формулу Ньютона-Лейбница.