Если дано, что уравнение x^2+x+1=0, то каково значение выражения x^2018+1/x^2018?

Тема вопроса: Решение уравнения и вычисление выражения

Объяснение:
Для решения этой задачи нам понадобится умение решать квадратные уравнения и работать с выражениями.

Начнем с решения уравнения x^2 + x + 1 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней. В данном случае, его дискриминант равен D = 1 - 4*1*1 = -3. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Однако, мы можем решить это уравнение используя комплексные числа.

Чтобы найти значение выражения x^2018 + 1/x^2018, мы можем использовать найденные корни уравнения x^2 + x + 1 = 0. Пусть α и β будут корнями этого уравнения. Тогда мы знаем, что α + β = -1 и αβ = 1.

Теперь мы можем использовать формулу Муавра, которая позволяет нам возвести комплексное число в степень. Формула Муавра гласит: z^n = r^n * (cos(nθ) + i * sin(nθ)), где z - комплексное число в тригонометрической форме, r - модуль комплексного числа, θ - аргумент комплексного числа, n - степень.

В нашем случае, корни α и β можно представить в тригонометрической форме. Подставив их в формулу Муавра и возводя в степень 2018, мы получим значения α^2018 и β^2018. Затем, мы можем сложить эти значения и получить итоговый ответ.

Доп. материал:
Задача: Если дано, что уравнение x^2 + x + 1 = 0, то каково значение выражения x^2018 + 1/x^2018?

Решение:
1. Найдем корни уравнения x^2 + x + 1 = 0. По формуле дискриминанта, D = 1 - 4*1*1 = -3. Так как D < 0, уравнение не имеет вещественных корней. Однако, мы можем решить его с помощью комплексных чисел.
2. Найдем комплексные корни уравнения. По формулам Виета, α + β = -1 и αβ = 1. Решая эти уравнения, получаем α = (-1 + √3i)/2 и β = (-1 - √3i)/2.
3. По формуле Муавра, α^2018 = (√4)^2018 * (cos(2018*60°) + i * sin(2018*60°)) = 2^2018 * (cos(1201080°) + i * sin(1201080°)) = 2^2018 * (cos(240°) + i * sin(240°)).
4. Аналогично, β^2018 = 2^2018 * (cos(240°) - i * sin(240°)).
5. Теперь мы можем вычислить x^2018 + 1/x^2018 = α^2018 + β^2018 = 2^2018 * (cos(240°) + i * sin(240°)) + 2^2018 * (cos(240°) - i * sin(240°)).
6. Суммируя части с действительной и мнимой частями, получаем x^2018 + 1/x^2018 = 2^2018 * 2 * cos(240°) = 2^2019 * cos(240°) = 2^2019 * (-1/2) = -2^2018.

Совет: Чтобы лучше понять решение этой задачи, полезно вспомнить формулу Муавра и основы работы с комплексными числами.

Задание для закрепления:
Решите уравнение y^2 + y + 1 = 0 и найдите значение выражения y^2017 + 1/y^2017.