Equation of the circle: x2+y2=4. Equation of the line: y=b. Find the values of b with which... (In the answer to each

Уравнение окружности: x^2 + y^2 = 4. Уравнение прямой: y = b. Найдите значения b, при которых...

1. Линия имеет одну общую точку с окружностью: b = 0.
Обоснование: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
x^2 + (y = 0)^2 = 4
x^2 + 0 = 4
x^2 = 4
x = ±2
Таким образом, у нас есть одна общая точка между прямой и окружностью, когда b = 0.

2. Линия имеет две общие точки с окружностью: b > -2 и b < 2.
Обоснование: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
x^2 + (y = b)^2 = 4
x^2 + b^2 = 4
Если x^2 = 4 - b^2, то у нас есть два значения x, соответствующих двум разным точкам пересечения прямой с окружностью. Это возможно только тогда, когда 4 - b^2 > 0, что приводит к условию -2 < b < 2.

3. Линия не имеет общих точек с окружностью: b ≤ -2 или b ≥ 2.
Обоснование: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
x^2 + (y = b)^2 = 4
x^2 + b^2 = 4
Если x^2 = 4 - b^2, то у нас нет реальных значений x, соответствующих точкам пересечения прямой с окружностью. Это возможно только тогда, когда 4 - b^2 ≤ 0, что приводит к условию b ≤ -2 или b ≥ 2.

Пример: Найти значения b, при которых линия y = b имеет две общие точки с окружностью x^2 + y^2 = 4.
Совет: Для решения этой задачи можно использовать метод подстановки и алгебраический анализ.
Закрепляющее упражнение: Составьте уравнение окружности с центром в точке (3, -2) и радиусом 5.