Докажите, что среди 100 спортсменов, участвующих в беговых соревнованиях, найдутся двое знакомых между собой, у которых

Тема занятия: Доказательство принципа Дирихле

Объяснение: Чтобы доказать утверждение, что среди 100 спортсменов, участвующих в беговых соревнованиях, найдутся двое знакомых между собой, у которых номера начинаются с одной и той же цифры, мы будем использовать принцип Дирихле.

В данной задаче имеется 100 спортсменов и 9 возможных цифр (0-9) для начального номера. Различных комбинаций начальных цифр будет 10 (0, 1, 2, ..., 9). Однако у нас есть 100 спортсменов, что больше, чем количество различных комбинаций.

По принципу Дирихле, если распределить более чем n объектов по n ящикам, то хотя бы в одном ящике будет содержаться более одного объекта.

В нашем случае, 100 спортсменов - это объекты, а 10 комбинаций начальных цифр - это ящики. Так как количество объектов больше, чем количество ящиков, то по принципу Дирихле, у нас обязательно найдутся два спортсмена с одинаковыми начальными цифрами.

Таким образом, мы доказали, что среди 100 спортсменов найдутся двое знакомых между собой, у которых номера начинаются с одной и той же цифры.

Демонстрация: В беговых соревнованиях 100 спортсменов получили случайные стартовые номера от 0 до 9. Докажите, что найдутся двое знакомых спортсменов с одинаковыми начальными цифрами.

Совет: Для лучшего понимания принципа Дирихле, можно представить его как раздачу яблок на тарелки. Если у вас есть больше яблок, чем тарелок, то хотя бы на одной тарелке будет несколько яблок.

Дополнительное задание: В классе участвуют 25 учеников. Каждому ученику нужно присвоить номер от 1 до 9. Докажите, что найдутся двое учеников с одинаковыми номерами.