Доказать, что векторы е1(-1; 2) и е2(2; 1) являются базисом в множестве всех векторов на плоскости. Найти координаты

Тема вопроса: Векторы и базис

Инструкция: Для того чтобы доказать, что векторы е1(-1; 2) и е2(2; 1) являются базисом в множестве всех векторов на плоскости, необходимо выполнить два условия.

1. Векторы е1 и е2 должны быть линейно независимыми. То есть, ни один из них не должен быть линейной комбинацией другого.
2. Любой вектор на плоскости должен быть представим в виде линейной комбинации векторов е1 и е2.

Для начала проверим, являются ли векторы е1 и е2 линейно независимыми:

Для того чтобы доказать линейную независимость, предположим, что существуют такие числа a и b, где a и b не равны нулю, что a * е1 + b * е2 = 0 (нулевой вектор).

Таким образом, получаем систему уравнений:
-а + 2b = 0 (1)
2a + b = 0 (2)

Решая эту систему, получим a = 0 и b = 0, что означает, что векторы е1 и е2 действительно линейно независимы.

Теперь нам нужно найти координаты вектора а(0; -2) в этом базисе.

Представим вектор а как линейную комбинацию векторов е1 и е2: а = x * е1 + y * е2.

Подставим координаты из вектора а и решим систему уравнений:
-1 * x + 2 * y = 0 (3)
2 * x + 1 * y = -2 (4)

Решая эту систему уравнений, получаем x = 1 и y = -1. Таким образом, координаты вектора а(0; -2) в базисе е1 и е2 равны (1; -1).

Например:

Доказать, что векторы е1(-1; 2) и е2(2; 1) являются базисом в множестве всех векторов на плоскости. Найти координаты вектора а(0; -2) в этом базисе.

Совет: Для более легкого понимания концепции базисов, рекомендуется изучить линейную алгебру и связанные концепции, такие как линейная комбинация и линейная независимость векторов.

Дополнительное упражнение:
Доказать, что векторы v1(2; 3) и v2(4; -1) являются базисом в множестве всех векторов на плоскости. Найти координаты вектора b(6; -7) в этом базисе.