Для какого количества натуральных чисел n выполняется условие НОК (10;n) = НОД (20;6n)?

Предмет вопроса: Работа с НОД и НОК

Описание:
Для решения данной задачи нам нужно установить, для каких значений n НОК (10;n) будет равняться НОД (20;6n).

Чтобы найти НОК (наименьшее общее кратное) двух чисел, мы можем использовать формулу: НОК (a;b) = a * b / НОД (a;b), где НОД (наибольший общий делитель).

Рассмотрим НОК (10;n):
НОК (10;n) = 10 * n / НОД (10;n)

И НОД (20;6n):
НОД (20;6n) = 2 * НОД (10;n)

Теперь мы можем записать наше условие:
10 * n / НОД (10;n) = 2 * НОД (10;n)

Чтобы упростить это уравнение, домножим обе стороны на НОД (10;n):
10 * n = 2 * (НОД (10;n))^2

Для дальнейшего решения, нам нужно разложить число 10 на простые множители: 10 = 2 * 5

Теперь мы можем записать уравнение в виде:
2 * 5 * n = 2 * (НОД (10;n))^2

Делаем сокращение:
5 * n = (НОД (10;n))^2

Так как мы ищем только натуральные числа n, сделаем выводы:
НОД (10;n) должен быть равен 5, иначе квадрату НОДа (НОД (10;n))^2 нет натурального корня.

Перечислим все натуральные числа n, для которых НОД (10;n) = 5:
n = 5, 10, 15, 20, ...

Таким образом, для любого значения n вида 5k, где k - натуральное число, условие НОК (10;n) = НОД (20;6n) выполняется.

Например:
Для n = 5: НОК (10;5) = 10 * 5 / НОД (10;5) = 2 * НОД (10;5) = 2 * 5 = 10
НОД (20;6 * 5) = НОД (20;30) = 10

Совет:
При работе с НОД и НОК полезно знать основные свойства этих математических операций и уметь разбираться с разложением чисел на простые множители. Пользуйтесь этими свойствами и разложениями для более удобной работы и сокращения уравнений.

Задача для проверки:
Найдите все значения n от 1 до 20, для которых выполняется условие НОК (10;n) = НОД (20;6n).