Для каких натуральных значений m количество натуральных решений неравенства |2n+4|+m > |3n-3|+|n-1| составляет точно

Неравенство с модулями:

Пояснение: Дано неравенство с модулями |2n+4| + m > |3n-3| + |n-1|. Наша задача - найти натуральные значения m, для которых количество натуральных решений этого неравенства составляет 2017.

Для начала, рассмотрим возможные случаи.

1) Если выражения в модулях положительны или нулевые:
- 2n + 4 ≥ 0 (1)
- 3n - 3 ≥ 0 (2)
- n - 1 ≥ 0 (3)
2) Если выражения в модулях отрицательны:
- 2n + 4 < 0 (4)
- 3n - 3 < 0 (5)
- n - 1 < 0 (6)

Для каждого из случаев, рассмотрим все возможные комбинации.

1) Когда выражения в модулях положительны или нулевые:
- Из (1) получаем n ≥ -2
- Из (2) получаем n ≥ 1
- Из (3) получаем n ≥ 1

Таким образом, n ≥ 1.

2) Когда выражения в модулях отрицательны:
- Из (4) получаем n < -2
- Из (5) получаем n < 1
- Из (6) получаем n < 1

Следовательно, -2 < n < 1.

Теперь, чтобы найти количество натуральных решений, рассмотрим интервалы, на которых выполняется неравенство:

-2 < n < 1: Если m ≥ |2n + 4| + |3n - 3| + |n - 1|, то неравенство выполняется.
n ≥ 1: Если m ≥ |2n + 4| + |3n - 3| + |n - 1|, то неравенство выполняется.

Из этого следует, что количество натуральных решений неравенства будет равно количеству значений m, для которых неравенство |2n + 4| + |3n - 3| + |n - 1| ≤ m выполняется для всех n из интервалов -2 < n < 1 и n ≥ 1.

Для подсчета таких значений m, вычислим значение модулей для каждого интервала, затем получим сумму этих значений:

1) Для -2 < n < 1:
- |2n + 4| = 4 - 2n
- |3n - 3| = 3n - 3
- |n - 1| = 1 - n

Итак, неравенство будет иметь вид: (4 - 2n) + (3n - 3) + (1 - n) ≤ m.
Упрощая, получаем: 2n + 2 ≤ m.

2) Для n ≥ 1:
- |2n + 4| = 2n + 4
- |3n - 3| = 3n - 3
- |n - 1| = n - 1

Итак, неравенство будет иметь вид: (2n + 4) + (3n - 3) + (n - 1) ≤ m.
Упрощая, получаем: 6n ≤ m.

Значение m будет наименьшим из двух полученных значений, поэтому m = min(2n + 2, 6n).

Таким образом, количество натуральных решений неравенства составляет точно 2017, если сумма всех подходящих значений m равна 2017.

Совет: Для понимания данной задачи, важно разобрать все возможные случаи и интервалы, на которых неравенство выполняется. Далее, используйте полученные значения модулей, чтобы выразить неравенства и найти подходящие значения m. Не забывайте учитывать все условия задачи и строгое равенство 2017.

Практика: Найдите сумму всех натуральных значений m, для которых количество натуральных решений данного неравенства составляет точно 2017.