Дано: точки A(3; -9), B(-5; -8), C(3; 0). Найти: а) координаты вектора AC; б) длину вектора BC; в) координаты середины

Векторы и треугольники:
Инструкция: Для решения этой задачи нам потребуется знание векторов и треугольников.

а) Координаты вектора AC:
Для нахождения координат вектора AC, нужно вычислить разность между координатами конечной точки C и начальной точки A. Общая формула для нахождения вектора между двумя точками выглядит так:

$\overrightarrow{AB} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$

В данной задаче:

$\overrightarrow{AC} = (x_{C} - x_{A}, y_{C} - y_{A})$

Подставляя значения координат точек A и C, получаем:

$\overrightarrow{AC} = (3 - 3, 0 - (-9))$
$\overrightarrow{AC} = (0, 9)$

Ответ: Координаты вектора AC равны (0, 9).

б) Длина вектора BC:
Для нахождения длины вектора BC, можно использовать теорему Пифагора. Длина вектора BC будет равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого катеты равны разности координат точек B и C.

Длина вектора BC вычисляется по следующей формуле:

$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$

В данной задаче:

$\overrightarrow{BC} = \sqrt{(-5 - 3)^{2} + (-8 - 0)^{2}}$
$\overrightarrow{BC} = \sqrt{(-8)^{2} + (-8)^{2}}$
$\overrightarrow{BC} = \sqrt{64 + 64}$
$\overrightarrow{BC} = \sqrt{128}$
$\overrightarrow{BC} = 8\sqrt{2}$

Ответ: Длина вектора BC равна $8\sqrt{2}$.

в) Координаты середины отрезка AB:
Для нахождения координат середины отрезка AB, нужно взять среднее значение координат каждого измерения (x и y) от начальной точки A и конечной точки B.

Координата x середины отрезка AB рассчитывается по формуле:

$x_{\text{сер}} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$

Координата y середины отрезка AB рассчитывается по формуле:

$y_{\text{сер}} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$

В данной задаче:

$x_{\text{сер}} = \frac{3 + (-5)}{2}$
$x_{\text{сер}} = \frac{-2}{2}$
$x_{\text{сер}} = -1$

$y_{\text{сер}} = \frac{-9 + (-8)}{2}$
$y_{\text{сер}} = \frac{-17}{2}$
$y_{\text{сер}} = -8.5$

Ответ: Координаты середины отрезка AB равны (-1, -8.5).

г) Периметр треугольника ABC:
Для нахождения периметра треугольника ABC, нужно сложить длины всех его сторон. В данной задаче мы уже рассчитали длины сторон AB и BC (AB = 8, BC = $8\sqrt{2}$).

$AC = \sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}}$
$AC = \sqrt{(3 - 3)^{2} + (0 - (-9))^{2}}$
$AC = \sqrt{0 + 81}$
$AC = \sqrt{81}$
$AC = 9$

Периметр треугольника ABC рассчитывается по формуле:

$P = AB + BC + AC$

В данной задаче:

$P = 8 + 8\sqrt{2} + 9$

Ответ: Периметр треугольника ABC равен $17 + 8\sqrt{2}$.

д) Длина медианы:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для нахождения длины медианы, мы можем воспользоваться формулой:

$m = \frac{\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}}{2}$,

где a, b, и c - длины сторон треугольника.

В данной задаче:

$a = BC = 8\sqrt{2}$
$b = AC = 9$
$c = AB = 8$

$m = \frac{\sqrt{2(9)^{2} + 2(8)^{2} - (8\sqrt{2})^{2}}}{2}$
$m = \frac{\sqrt{2(81) + 2(64) - 128}}{2}$
$m = \frac{\sqrt{162 + 128 - 128}}{2}$
$m = \frac{\sqrt{162}}{2}$
$m = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Длина медианы треугольника ABC равна $\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Совет: При решении задач, связанных с векторами и треугольниками, важно внимательно следить за расчетами и использовать правильные формулы. Также полезно знать свойства векторных операций, таких как сложение и вычитание векторов, а также длина вектора.

Закрепляющее упражнение: Найдите координаты вектора AB, длину вектора AC, координаты середины отрезка BC, периметр треугольника BAC и длину медианы треугольника BAC, если точки A, B и C заданы следующим образом: A(-1; 4), B(3; -2), C(5; -6).