Дано две конечные коллекции: A={a,b,c}, B={1,2,3,4}; бинарные отношения P1  AB, P2  B 2 . Представить P1, P2 в виде

Тема вопроса: Бинарные отношения и их свойства
Инструкция: Бинарное отношение - это связь между элементами двух множеств. В данном случае у нас есть две коллекции A={a,b,c} и B={1,2,3,4}. Отношение P1 является подмножеством декартова произведения множеств A и B, то есть P1 ⊆ A×B. Отношение P2 является подмножеством декартова произведения множеств B и B, то есть P2 ⊆ B×B.

Изображение отношения P1 - это множество упорядоченных пар, которые состоят из элемента из A и элемента из B. Запишем его в виде: P1 = {(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,4)}.

Изображение отношения P2 - это множество упорядоченных пар, которые состоят из элементов из B. Запишем его в виде: P2 = {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(4,4)}.

Теперь найдем обратное отношение P = (P2◦P1) –1. Здесь используется операция композиции отношений, где (P2◦P1) - это произведение этих отношений, а (P2◦P1) –1 - это его обратное. Выполним данную операцию:

(P2◦P1) = {(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,4)} ◦ {(1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(4,4)} = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(b,4)}

(P2◦P1) –1 = {(a,1),(a,3),(b,2),(b,3),(b,4)} –1 = {(1,a),(3,a),(2,b),(3,b),(4,b)}

Область определения отношения P1 - это множество элементов A, которые являются первыми элементами упорядоченных пар в P1, то есть D(P1) = {a,b}.

Область значений отношения P1 - это множество элементов B, которые являются вторыми элементами упорядоченных пар в P1, то есть R(P1) = {1,2,3,4}.

Аналогично вычисляем области определения и значений для P2:

D(P2) = {1,2,3,4}

R(P2) = {1,2,3,4}

Для построения матрицы [P2] мы используем области определения и значений отношения P2 и записываем 1, если пара (i,j) принадлежит отношению и 0 в противном случае. Таким образом, матрица [P2] будет иметь вид:

[P2] =
1 0 1 1
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 1

Для определения свойств отношения P2, проверяем следующие:

- Симметричность: отношение P2 является симметричным, если для каждой пары (i,j) принадлежащей P2, пара (j,i) также будет принадлежать P2. В данном случае отношение P2 не является симметричным, так как, например, пара (1,3) принадлежит P2, но пара (3,1) не принадлежит P2.

- Рефлексивность: отношение P2 является рефлексивным, если для каждого элемента i в множестве B, пара (i,i) принадлежит P2. В данном случае отношение P2 является рефлексивным, так как каждый элемент из B, например 1, 2, 3, 4 принадлежит P2 в паре с самим собой.

- Антисимметричность: отношение P2 является антисимметричным, если одновременно с парой (i,j) принадлежащей P2, пара (j,i) не принадлежит P2, когда i != j. В данном случае отношение P2 является антисимметричным, так как пустое множество пар принадлежит P2, где i != j.

- Транзитивность: отношение P2 является транзитивным, если при принадлежности пар (i,j) и (j,k) P2, пара (i,k) также принадлежит P2. В данном случае отношение P2 является транзитивным, так как для любой пары (i,j) и (j,k), где i, j и k элементы множества B, пара (i,k) принадлежит P2.

Совет: Для более легкого понимания бинарных отношений, рекомендуется постараться представить их в виде матрицы и визуализировать свойства, например, рисуя стрелки между элементами.

Задание: Постройте матрицу [P1], проверьте, является ли отношение P1 симметричным, рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.