Что значит найти наименьшее значение функции y = 8x - ln(x + 12)^8 на отрезке [-11,5;0]? Подробно объясните

Название: Нахождение наименьшего значения функции

Описание:

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 8x - ln(x + 12)^8 на заданном отрезке [-11,5;0], нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции. Для этого возьмите производную каждого слагаемого по отдельности. Производная слагаемого 8x равна 8, а производная ln(x + 12)^8 равна 8/(x + 12). Обратите внимание, что мы также используем цепное правило дифференцирования.

2. Производная функции позволяет нам найти точки экстремума (максимумы или минимумы). Решим уравнение 8 - 8/(x + 12) = 0, чтобы найти критическую точку функции.

3. Найденные критические точки могут быть экстремумами. Проверим значения функции в критических точках и на концах заданного отрезка [-11,5;0].

4. Сравним значения функции во всех найденных точках и выберем наименьшее значение. Именно это значение будет наименьшим значением функции на отрезке [-11,5;0].

Дополнительный материал:

1. Найдем производную функции y = 8x - ln(x + 12)^8:
y" = 8 - (8/(x + 12))

2. Решим уравнение 8 - 8/(x + 12) = 0:
8/(x + 12) = 8
1/(x + 12) = 1
x + 12 = 1
x = -11

3. Подставим найденную критическую точку и концы отрезка в функцию и найдем значения:
y(-11) = 8 * (-11) - ln((-11) + 12)^8
y(-11) = -88 - ln(1)^8
y(-11) = -88

y(-11.5) = 8 * (-11.5) - ln((-11.5) + 12)^8
y(-11.5) = -92 - ln(0.5)^8
y(-11.5) ≈ -92.605

y(0) = 8 * 0 - ln(0 + 12)^8
y(0) = 0 - ln(12)^8
y(0) ≈ -19.778

4. Сравним значения -88, -92.605 и -19.778 и выберем наименьшее значение. Наименьшее значение на отрезке [-11,5;0] равно -92.605.

Совет:

- Не забудьте проверить точки экстремума и концы отрезка, чтобы найти наименьшее значение функции.