а) Сформулируйте распределение вероятностей для случайной величины X. б) Сформулируйте функцию распределения случайной

Тема: Распределение вероятностей и функция распределения случайной величины

Пояснение:

а) Распределение вероятностей для случайной величины X это перечень всех возможных значений, которые может принимать X, и соответствующих вероятностей каждого значения. Обозначается оно как P(X=x), где x - конкретное значение случайной величины X. Распределение вероятностей должно удовлетворять двум условиям: сумма всех вероятностей должна равняться 1, и вероятности должны быть неотрицательными.

б) Функция распределения случайной величины (также называемая кумулятивной функцией распределения) обозначается как F(x) и определяется как сумма вероятностей всех значений X, меньших или равных x. График функции распределения представляет собой непрерывную кривую, начинающуюся с 0 и заканчивающуюся 1.

в) Математическое ожидание X (обозначается как E(X)) представляет собой среднее значение случайной величины X. Для его нахождения нужно умножить каждое значение X на соответствующую вероятность, а затем сложить все полученные произведения.

г) Дисперсия X (обозначается как Var(X)) является мерой разброса значений случайной величины X относительно ее математического ожидания. Она вычисляется как среднее значение квадратов отклонений каждого значения X от математического ожидания X.

Пример использования:
Пусть случайная величина X представляет собой результат подбрасывания неправильной монеты, где Р(орел) = 0,4 и Р(решка) = 0,6.

а) Распределение вероятностей для X:
P(X=орел)=0,4
P(X=решка)=0,6

б) Функция распределения для X:
F(орел)=0,4 (доходит до 0,4)
F(решка)=1 (доходит до 1)

в) Математическое ожидание X:
E(X) = (0,4*орел) + (0,6*решка) = 0,4*1 + 0,6*0 = 0,4

г) Дисперсия X:
Var(X) = ((0,4-0,4)^2 * 0,4) + ((0,6-0,4)^2 * 0,6) = 0+0,12 = 0,12

Совет: Чтобы лучше понять распределение вероятностей и функцию распределения случайной величины, рекомендуется провести несколько примеров на бумаге и построить графики для каждого примера. Также полезно освоить навык нахождения математического ожидания и дисперсии для случайной величины.

Задание: Найдите распределение вероятностей, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию для случайной величины X, где Р(X=1) = 0,3, Р(X=2) = 0,2, Р(X=3) = 0,4, Р(X=4) = 0,1.