а) Подтвердите, что плоскость amb1 параллельна прямой ac1. б) Определите расстояние между прямой ac1 и плоскостью amb1

Содержание: Параллельные плоскости и прямые

Разъяснение:
а) Для того, чтобы подтвердить, что плоскость amb1 параллельна прямой ac1, мы должны проверить, что вектор, перпендикулярный плоскости amb1, также будет перпендикулярным прямой ac1.

Для этого возьмем вектор нормали к плоскости amb1, обозначим его как n1. Также возьмем направляющий вектор прямой ac1, обозначим его как v1. Если скалярное произведение этих двух векторов равно нулю, то плоскость amb1 и прямая ac1 параллельны.

б) Для определения расстояния между прямой ac1 и плоскостью amb1 в случае прямоугольного параллелепипеда с длиной ребра ab = 4 и ad = 6, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью.

Формула имеет вид:
расстояние = |(ax - bx) * nx + (ay - by) * ny + (az - bz) * nz| / √(nx^2 + ny^2 + nz^2)

где a(x, y, z) - координаты точки на прямой ac1 и b(x, y, z) - координаты произвольной точки на плоскости amb1.

Демонстрация:
а) Возьмем вектор нормали плоскости amb1, n1 = (a - b, m - d, b1), и направляющий вектор прямой ac1, v1 = (a - c, m, c1).
Вычислим их скалярное произведение:
n1 • v1 = (a - b)(a - c) + (m - d)m + b1c1
Если n1 • v1 = 0, то плоскость amb1 и прямая ac1 параллельны.

б) Возьмем точку a(x, y, z) на прямой ac1 и произвольную точку b(x1, y1, z1) на плоскости amb1.
Используя формулу расстояния, рассчитаем расстояние между прямой и плоскостью.

Совет: Для лучшего понимания концепции параллельных плоскостей и прямых, рекомендуется изучить векторы и скалярное произведение, а также разобрать примеры и задачи, связанные с этой темой.

Проверочное упражнение:
а) Даны прямая ab1: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3t, и плоскость p: 2x - y + z = 4. Подтвердите, что прямая ab1 параллельна плоскости p.
б) Определите расстояние между прямой ab1 и плоскостью p для точки a(1, 2, -1) и произвольной точки b(x1, y1, z1) на плоскости p.