а) Определите центр и радиус сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 4x + 6y = 36. б) Как связаны сфера и плоскость

Содержание: Уравнение сферы и плоскости

Объяснение:
а) Для определения центра и радиуса сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 4x + 6y = 36, нужно выразить уравнение в канонической форме (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², где (a, b, c) - координаты центра, а r - радиус сферы.
Для этого сначала приведем уравнение к виду (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², перегруппировав члены и приведя подобные:
(x² - 4x) + (y² + 6y) + z² = 36
(x² - 4x) + 4 + (y² + 6y + 9) + z² = 36 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)² + z² = 49

Из этого получаем, что центр сферы находится в точке (2, -3, 0), а радиус равен √49 = 7.

б) Чтобы понять, как связаны сфера и плоскость x = -6, нужно внести значение x в уравнение сферы. В нашем случае это будет: (-6 - 2)² + (y + 3)² + z² = 49, т.е. (-8)² + (y + 3)² + z² = 49. Упростив, получим: 64 + (y + 3)² + z² = 49.

Из этого уравнения видно, что для любых y и z выражение (y + 3)² + z² ≥ 0, а значит, точки лежат на или внутри сферы с радиусом 7 и центром в точке (2, -3, 0). Плоскость x = -6 пересекает сферу или лежит внутри нее.

Демонстрация:
а) Центр сферы: (2, -3, 0). Радиус сферы: 7.
б) Сфера и плоскость x = -6 пересекаются или лежат внутри сферы с радиусом 7 и центром в точке (2, -3, 0).

Совет:
Для решения подобных задач по сферам и плоскостям полезно знать каноническую форму уравнения сферы и уметь приводить уравнения к этому виду. Также полезно помнить, что если радиус сферы равен нулю, то это будет точка, если радиус положителен, то это будет сфера, а если радиус отрицателен, то сфера будет пустым множеством.

Задание:
Определите радиус и центр сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 8x + 2y - 6z + 12 = 0. Как связана эта сфера с плоскостью x = 4? Что можно сказать о расположении плоскости относительно сферы? Напишите решение шаг за шагом.