а) Найдите решение уравнения: cos(x−2π)=sin(3π−x) б) Найдите все значения x, являющиеся корнями этого уравнения

Тема: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение: Данное уравнение требует нахождения решений в заданном промежутке. Для начала решим уравнение cos(x−2π)=sin(3π−x):

cos(x−2π)=sin(3π−x)
Применим тригонометрические тождества:
cos(x)cos(2π)+sin(x)sin(2π)=sin(3π)cos(x)-sin(x)cos(3π)
cos(x)+0=sin(3π)cos(x)-0
cos(x)=sin(3π)cos(x)
cos(x)(1-sin(3π))=0
cos(x) = 0 или sin(3π) = 1

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

а) Уравнение cos(x) = 0 имеет следующие решения:
x = π/2 + πk, где k - целое число.

б) Уравнение sin(3π) = 1 не имеет решений, так как sin(3π) = 0.

Для нахождения решений уравнения, которые принадлежат промежутку [-π;π/2], подставим каждое решение из пункта "а" в данное уравнение и проверим, удовлетворяет ли оно условию:

x = π/2 + πk
Подставляем в уравнение:
cos((π/2 + πk)-2π) = sin(3π - (π/2 + πk))
cos(π/2 + πk - 2π) = sin(3π - π/2 - πk)

Упрощая и используя тригонометрические тождества:
cos(π/2 - πk) = cos(π/2 - πk)
Таким образом, все значения x = π/2 + πk являются корнями уравнения и принадлежат промежутку [-π;π/2].

Совет: Для упрощения решения тригонометрических уравнений, рекомендуется использовать тригонометрические тождества и знакомиться с основными свойствами тригонометрических функций.

Упражнение: Найдите все решения уравнения cos(2x) + sin(x) = 0 в промежутке [0; 2π].