а) Докажите, что плоскость α, проходящая через ребро AB и точку, лежащую на середине ребра SE, делит ребро

Суть вопроса: Доказательство пропорций отрезков на плоскости

Инструкция:
Чтобы доказать, что плоскость α, проходящая через ребро AB и точку, лежащую на середине ребра SE, делит ребро SC в пропорции 2:1, отсчитывая от вершины S, мы можем использовать свойство подобия.

Возьмем точку D на ребре SC так, чтобы SD составляла 1/3 от общей длины ребра SC. Теперь мы имеем два треугольника SDC и SAB, которые являются подобными, так как у них совпадают два угла (из-за того, что прямые AB и α параллельны).

В подобных треугольниках отношение длин сторон равно отношению длин соответствующих сторон. Таким образом, отношение SD к SC равно отношению AB к AC (пропорция AB:AC = SD:SC). Но мы знаем, что SD составляет 1/3 от SC, поэтому отношение AB к AC должно быть 2:1.

Таким образом, плоскость α, проходящая через ребро AB и точку, лежащую на середине ребра SE, действительно делит ребро SC в пропорции 2:1, отсчитывая от вершины S.

Пример:
Задан треугольник ABC с вершинами A(1, 2), B(4, 3) и C(6, 1). Найдите координаты точки D, такой что плоскость, проходящая через ребро AB и точку D, делит ребро AC в пропорции 3:2.

Совет:
Для успешного доказательства пропорций на плоскости, используйте свойства подобия треугольников и отношение длин сторон.

Ещё задача:
Доказать, что плоскость, параллельная стороне BC треугольника ABC и проходящая через середину стороны AC, делит сторону AB пополам.