1в базисе векторов p ⃗ и q ⃗: ( |p ⃗| =2, |q ⃗| =3, ∠p ⃗q ⃗ =π/3) заданы вектора a ⃗ и b ⃗: a ⃗ = (m+1) p ⃗ + n q ⃗

Предмет вопроса: Векторы в пространстве

Объяснение:
Пусть имеются векторы p ⃗ и q ⃗, заданные в базисе. Для нахождения косинуса угла между векторами a ⃗ и b ⃗, нам необходимо найти их скалярное произведение и поделить его на произведение их длин. Косинус угла можно выразить следующим образом:

cos(φ) = (a ⃗ • b ⃗) / (|a ⃗| * |b ⃗|),

где a ⃗ • b ⃗ - скалярное произведение векторов a ⃗ и b ⃗,
|a ⃗| и |b ⃗| - длины векторов a ⃗ и b ⃗ соответственно.

Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗, мы можем использовать формулу:

S = |a ⃗ x b ⃗|,

где a ⃗ x b ⃗ - векторное произведение векторов a ⃗ и b ⃗,
|a ⃗ x b ⃗| - длина вектора, полученного в результате векторного произведения.

Пример:
а) Для нахождения косинуса угла между векторами a ⃗ и b ⃗, сначала найдем скалярное произведение:
a ⃗ • b ⃗ = ((m+1) p ⃗ + n q ⃗) • (n p ⃗ – (m + 1) q ⃗).
После этого найдем длины векторов a ⃗ и b ⃗:
|a ⃗| = √((m+1)² + n²) и |b ⃗| = √(n² + (m + 1)²).
И, наконец, подставляем в формулу для косинуса:
cos(φ) = ((m+1) p ⃗ + n q ⃗) • (n p ⃗ – (m + 1) q ⃗) / (√((m+1)² + n²) * √(n² + (m + 1)²)).

б) Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗, найдем векторное произведение:
a ⃗ x b ⃗ = ((m+1) p ⃗ + n q ⃗) x (n p ⃗ – (m + 1) q ⃗).
Затем найдем длину вектора, полученного в результате векторного произведения:
|a ⃗ x b ⃗| = √(|a ⃗ x b ⃗|²).

Совет:
Для более легкого понимания и решения задачи, можно вначале выразить векторы a ⃗ и b ⃗ с помощью базисных векторов p ⃗ и q ⃗, а затем применить формулы для нахождения косинуса и площади параллелограмма. При работы с векторами важно также использовать правила рассчета скалярного и векторного произведений, чтобы получить корректные результаты.

Упражнение:
Найдите косинус угла между векторами a ⃗ и b ⃗, если p ⃗ = (1, 2) и q ⃗ = (-3, 5), а m = 2 и n = 3. Затем, найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a ⃗ и b ⃗.