14.21. Докажите, что если a, b, и с являются целыми числами и удовлетворяют условию a + b + c = 1, то выражение

Доказательство:

Рассмотрим выражение (a + bc)(b + ac)(c + ab).

Применим формулу суммы кубов:

(a + bc)(b + ac)(c + ab) = [(a + bc) * (b + ac) * (c + ab)] / (a + b + c)

Раскроем скобки в первом выражении:

(a + bc) = a + abc + bc
(b + ac) = b + abc + ac
(c + ab) = c + abc + ab

Подставим значения в формулу суммы кубов:

[(a + bc) * (b + ac) * (c + ab)] / (a + b + c) = [(a + abc + bc) * (b + abc + ac) * (c + abc + ab)] / (a + b + c)

Заметим, что среди трех чисел a, b и c найдется хотя бы одно, которое делится на 3, либо все три числа делятся на 3. Поэтому мы можем заменить (a + b + c) на 3.

[(a + abc + bc) * (b + abc + ac) * (c + abc + ab)] / 3 = [(a + abc + bc) * (b + abc + ac) * (c + abc + ab)] / 3^2

Упростим числитель:

[(a + abc + bc) * (b + abc + ac) * (c + abc + ab)] = (abc^3 + ab^2c + a^2bc + ab^3c + a^2bc^2 + a^2b^2c + a^2b^3 + abc^2 + ab^2c^2 + a^2c^2 + ab^2c^3 + a^3bc^2 + a^2c^3 + ab^3c^2 + a^3b^2c + a^3b^2 + ab^3c^3 + ab^2c^3 + a^3bc^3 + a^2b^3c^2 + a^3bc^2 + a^3b^2c^2 + a^3bc^3 + a^3b^2c^2 + ab^3c^3 + a^3b^3c)

Примечание: Все слагаемые содержат или по крайней мере одну степень переменной a, b или c.

Заметим, что числитель и знаменатель имеют квадраты переменных a, b и c, соответственно. Поэтому, исходное выражение (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.

Доп. материал:

Задача: Докажите, что если a = 2, b = -1 и c = 0, то выражение (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.

Решение:

(a + bc) = 2 + (-1)*0 = 2
(b + ac) = -1 + 2*0 = -1
(c + ab) = 0 + 2*(-1) = -2

Теперь подставим значения в (a + bc)(b + ac)(c + ab):

(2)(-1)(-2) = 4

Значение выражения равно 4, что является квадратом целого числа.

Совет:

Чтобы лучше понять и запомнить данное доказательство, рекомендуется внимательно следить за каждым вычислением и использовать несколько примеров чисел a, b и c. Это поможет увидеть общую закономерность и увереннее применять доказательство в других заданиях.

Упражнение:

Докажите, что если a = -3, b = 1 и c = 2, то выражение (a + bc)(b + ac)(c + ab) является квадратом целого числа.