1. В чем состоит первый положительный элемент последовательности -8,1; -7,9; -7,7; ...? 2. Какая будет сумма первых

Тема урока: Геометрическая прогрессия

Описание: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

1. Для определения первого положительного элемента последовательности необходимо найти такое значение n, при котором n-й элемент станет положительным. Для данной последовательности -8.1, -7.9, -7.7... знаменатель равен 0.2. Если выражаем n-й элемент с помощью общей формулы элемента геометрической прогрессии, получаем: -8.1 * (0.2)^(n-1). Подставляя различные значения n, можно увидеть, что первый положительный элемент будет при n = 6, т.е. -8.1 * (0.2)^(6-1) = -7.056.

2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена с помощью формулы: S_n = a * [(1 - r^n)/(1 - r)], где a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов, S_n - сумма первых n членов. Для данной задачи имеем: a = 2, r = ? (неизвестно), n = 6, S_n = 64. Подставляя в формулу, получаем: 2 * [(1 - r^6)/(1 - r)] = 64. Решая уравнение, найдем r. Затем, подставив полученное значение r в формулу, найдем первый член a и вычислим сумму: S_10 = a * [(1 - r^10)/(1 - r)].

3. Чтобы элементы x+1, x+5 и 2x + 4 были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимы два условия: (x+5)/(x+1) = (2x + 4)/(x+5) и x+1 ≠ 0, x+5 ≠ 0. Решая уравнение, находим значение x. Зная x, можно найти значения элементов последовательности.

4. При работе с бесконечной геометрической прогрессией, где |r| < 1, сумма всех членов равна a/(1 - r). В данной задаче сумма всех членов равна 162, сумма первых трех членов равна 156. Используя эти данные, можно составить два уравнения из формулы суммы членов прогрессии и формулы суммы первых трех членов. Решая систему уравнений, найдем первый член и знаменатель.

5. Для нахождения суммы всех натуральных чисел, которые делятся на заданное число n, можно воспользоваться формулой: S = n * (n+1) / 2. Таким образом, сумма всех натуральных чисел, делящихся на n, равна n * (n+1) / 2.

Совет: Для лучшего понимания геометрической прогрессии рекомендуется решать большое количество задач на определение элементов и суммы членов прогрессии, а также знакомиться с особыми случаями, когда |r| равно 0 или 1.

Задача для проверки: Найдите первый положительный элемент геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем 0.5. Какая будет сумма первых пяти членов этой прогрессии?