1) Пожалуйста, переформулируйте вопрос: - Как найти dz/du и dz/dv для функции z=x^2*lny, где x=u/v и y=3u-3v?

Тема занятия: Частные производные

Пояснение: Частная производная функции позволяет найти скорость изменения функции по одной переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Для нахождения частной производной, связанной с переменной u, необходимо дифференцировать функцию по u, считая остальные переменные константами. Аналогично, для переменной v нужно дифференцировать функцию по v.

Например:

1) Вопрос: Как найти dz/du и dz/dv для функции z=x^2*lny, где x=u/v и y=3u-3v?

Ответ: Для нахождения dz/du необходимо дифференцировать функцию z по u, считая остальные переменные константами. Подставим значения x и y в функцию z:

z = (u/v)^2 * ln(3u-3v)

Используя правило дифференцирования произведения функций, получаем:

dz/du = 2(u/v) * ln(3u-3v) + (u/v)^2 * 1/(3u-3v) * 3

Аналогично, для нахождения dz/dv нужно дифференцировать функцию z по v, считая остальные переменные константами:

dz/dv = -2(u/v)^2 * ln(3u-3v) + (u/v)^2 * 1/(3u-3v) * 3

Совет: Чтобы лучше понять, как находить частные производные, полезно изучить основные правила дифференцирования, такие как правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования степенной функции и правило цепной дифференциации.

Упражнение: Найдите частные производные функции f(x, y) = xy^2 - cos^2(x) при фиксированных значениях x=2 и y=3.

Переформулировка вопроса 1:
Как найти частные производные dz/du и dz/dv для функции z=x^2*lny, где x=u/v и y=3u-3v?

Разъяснение:
Для вычисления частных производных dz/du и dz/dv, мы будем использовать правило взятия производной для сложных функций. Для начала, найдем выражение для z в терминах u и v, используя заданные связи для x и y:
z = (u/v)^2 * ln(3u - 3v)

Теперь продифференцируем это выражение по u и v, одну переменную за раз:

1) Частная производная dz/du:
Для дифференцирования сложной функции z, умноженной на ln(3u - 3v), по u, мы применим правило производной сложной функции:
dz/du = 2(u/v) * ln(3u - 3v) + (u/v)^2 * (1/(3u - 3v)) * 3

2) Частная производная dz/dv:
Для дифференцирования сложной функции z, умноженной на ln(3u - 3v), по v, мы также применим правило производной сложной функции:
dz/dv = -2(u/v)^2 * ln(3u - 3v) - (u/v)^3 * (1/(3u - 3v)) * (-3)

Пример:
Для данной функции z=x^2*lny, где x=u/v и y=3u-3v, мы можем найти частные производные dz/du и dz/dv, используя следующие формулы:
dz/du = 2(u/v) * ln(3u - 3v) + (u/v)^2 * (1/(3u - 3v)) * 3
dz/dv = -2(u/v)^2 * ln(3u - 3v) - (u/v)^3 * (1/(3u - 3v)) * (-3)

Совет:
При вычислении частных производных для сложных функций, всегда помните о правиле дифференцирования сложной функции и правилах дифференцирования базовых функций. Старайтесь использовать скобки для ясности и аккуратности в выражениях.

Задание:
Найдите частные производные dz/dx и dz/dy для функции z=x^2 * lny, где x=2u+v и y=u-v.