1. Постройте на плоскости треугольник KMN, имеющий вершины K(-5;-4), M(-2;-4) и N(-2;-7). a) Найдите уравнение прямой

Треугольник KMN:

a) Уравнение прямой, параллельной стороне KN:

Для поиска уравнения прямой, параллельной стороне KN, нам необходимо знать её наклон (угловой коэффициент) и точку, через которую она проходит (в данном случае, это точка N).

Наклон стороны KN можно найти, используя координаты точек K и N:

Наклон (m) = (yn - yk) / (xn - xk)

m = (-7 - (-4)) / (-2 - (-5)) = -3/3 = -1

Используя наклон (m) и точку N(-2, -7), можем записать уравнение прямой вида y = mx + c и решить её для c:

-7 = (-1)(-2) + c

-7 = 2 + c

c = -9

Уравнение прямой, параллельной стороне KN, проходящей через точку N, будет:

y = -x - 9

Чтобы найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат, мы можем приравнять y и x к 0:

Когда y = 0:

0 = -x - 9

x = -9

Когда x = 0:

y = -0 - 9

y = -9

Таким образом, точка пересечения с осью x - это (-9, 0), а точка пересечения с осью y - (-9, 0).

б) Уравнение прямой, перпендикулярной стороне KN:

Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной стороне KN, мы должны знать наклон этой прямой. Так как сторона KN имеет наклон -1, наклон перпендикулярной прямой будет 1/1 = 1 (обратный и противоположный наклон).

Используя наклон (m) = 1 и точку M(-2, -4), мы можем записать уравнение прямой вида y = mx + c и решить её для c:

-4 = (1)(-2) + c

-4 = -2 + c

c = -2

Уравнение прямой, перпендикулярной стороне KN, проходящей через точку M, будет:

y = x - 2

Чтобы найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат, мы можем приравнять y и x к 0:

Когда y = 0:

0 = x - 2

x = 2

Когда x = 0:

y = 0 - 2

y = -2

Таким образом, точка пересечения с осью x - это (2, 0), а точка пересечения с осью y - это (0, -2).

Прямоугольник ABCD:

Для поиска координат четвертой вершины прямоугольника, нам нужно знать координаты трёх других вершин. В данном случае, у нас есть вершины A(-2,-3), B(-2,2) и C(5,2).

Четвёртая вершина будет противоположна вершине A относительно вершины C. Таким образом, координаты четвёртой вершины можно найти, вычтя из координат C координаты A:

D(x, y) = C(xc, yc) - A(xa, ya)

D(x, y) = (5, 2) - (-2, -3)

D(x, y) = (5 - (-2), 2 - (-3))

D(x, y) = (7, 5)

Таким образом, координаты четвертой вершины прямоугольника будут (7, 5).

Чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, мы должны найти длины его сторон, а затем сложить их:

AB = |xB - xA| + |yB - yA| = |-2 - (-2)| + |2 - (-3)| = 0 + 5 = 5

BC = |xC - xB| + |yC - yB| = |5 - (-2)| + |2 - 2| = 7 + 0 = 7

CD = |xD - xC| + |yD - yC| = |7 - 5| + |5 - 2| = 2 + 3 = 5

DA = |xA - xD| + |yA - yD| = |-2 - 7| + |-3 - 5| = 9 + 8 = 17

Периметр прямоугольника ABCD равен сумме длин его сторон:

Периметр = AB + BC + CD + DA = 5 + 7 + 5 + 17 = 34

Для вычисления площади прямоугольника ABCD мы можем использовать формулу:

Площадь = длина * ширина

В данном случае, ширина равна высоте, и мы можем использовать длины сторон AB и BC:

Площадь = AB * BC = 5 * 7 = 35

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 35.