1: Please provide the coordinates of points A, B, and C. The desired actions are: 1) Find the canonical equation

Тема: Координаты точек и уравнение прямой и плоскости

Инструкция: Для начала, найдем координаты точек A, B и C. Затем перейдем к решению каждого из требуемых действий.

1) Чтобы найти каноническое уравнение прямой AB, нужно использовать формулу двухточечного уравнения прямой: y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) и (x, y) - координаты двух точек на прямой, а m - угловой коэффициент прямой.
Вычисляем угловой коэффициент m: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек A(3,1,4) и B(-1,6,1), соответственно.
Подставляем значения в формулу: y - 1 = ((6 - 1) / (-1 - 3))(x - 3).
Упрощаем выражение: y = (-5/4)x + (27/4).
Получаем каноническое уравнение прямой AB: y = (-5/4)x + (27/4).

2) Чтобы сформулировать уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB, нужно использовать уравнение плоскости в точке-нормальной форме: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости.
Найдем вектор нормали к плоскости: AB(∆x, ∆y, ∆z), где ∆x = x₂ - x₁, ∆y = y₂ - y₁ и ∆z = z₂ - z₁.
Подставляем значения координат точек A(3,1,4) и B(-1,6,1): ∆x = -4, ∆y = 5, и ∆z = -3.
Координаты вектора нормали: (A, B, C) = (-4, 5, -3).
Запишем уравнение плоскости, используя координаты точки C(-1,1,6): -4x + 5y - 3z + D = 0.
Подставляем значения координат точки C и находим D: -4(-1) + 5(1) - 3(6) + D = 0.
Упрощаем выражение: D = 24.
Получаем уравнение плоскости: -4x + 5y - 3z + 24 = 0.

3) Чтобы определить расстояние от точки C до прямой AB, используем формулу для расстояния между точкой и прямой: d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / sqrt(A² + B² + C²), где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки.
Подставляем значения в формулу: d = |(-4)(-1) + (5)(1) + (-3)(6) + 24| / sqrt((-4)² + 5² + (-3)²).
Вычисляем выражение: d = 20 / sqrt(50).
Упрощаем выражение: d = 20 / (5sqrt(2)).
Получаем расстояние от точки C до прямой AB: d = 4 / sqrt(2).

4) Чтобы создать уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C, используем уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0.
Найдем векторы AB и AC, где AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) и AC = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁).
Подставляем значения точек A(3,1,4), B(-1,6,1) и C(-1,1,6) в векторы: AB = (-4, 5, -3) и AC = (-4, 0, 2).
Находим векторное произведение векторов AB и AC: N = AB × AC.
Подставляем значения координат векторов: N = (5(-3) - 0(2), (-4)(2) -(-4)(-3), (-4)(0) - (-4)(-3)).
Упрощаем выражение: N = (45, -8, 12).
Подставляем координаты вектора нормали и координаты одной из точек перед ним в уравнение плоскости: 45x - 8y + 12z + D = 0.
Найдем D: 45(3) - 8(1) + 12(4) + D = 0.
Упрощаем выражение: D = -183.
Получаем уравнение плоскости Q: 45x - 8y + 12z - 183 = 0.

Совет: Для улучшения понимания темы, рекомендуется использовать графическое представление точек, прямой и плоскости. Это поможет визуализировать решение и прояснить геометрические связи между ними.

Задание для закрепления: Найдите координаты точек D и E, если уравнение плоскости через точки A(3,1,4), B(-1,6,1) и C(-1,1,6) задано как 2x - 3y + 4z - 5 = 0.