1) Перепишите векторы ав, ас, ад в координатах i, j, k и найдите их длины. 2) Найдите угол между векторами ав и

Тема занятия: Векторы в пространстве

Объяснение:
1) Для переписывания векторов ав, ас, ад в координатах i, j, k, нужно разложить каждый вектор на проекции по соответствующим осям. Для примера, пусть вектор ав имеет координаты (x₁, y₁, z₁). Тогда i-составляющая вектора будет равна x₁, j-составляющая - y₁, а k-составляющая - z₁. Аналогично можно найти координаты остальных векторов. Для нахождения длины каждого вектора используется формула: длина = sqrt(x² + y² + z²), где x, y, z - координаты вектора.

2) Для нахождения угла между векторами ав и ас можно воспользоваться формулой: cosθ = (ав * ас) / (|ав| * |ас|), где ав и ас - векторы, а * обозначает скалярное произведение векторов.

3) Для нахождения проекции вектора ад на вектор ав можно воспользоваться формулой: проекция = (ад * ав) / |ав|, где ад и ав - векторы, а * обозначает скалярное произведение векторов.

4) Для нахождения площади грани авс можно воспользоваться формулой площади треугольника: площадь = 0.5 * |ав × ас|, где × обозначает векторное произведение векторов.

5) Для нахождения объема пирамиды авсд можно воспользоваться формулой: объем = (1/6) * |ав · (ад × ас)|, где · обозначает смешанное произведение векторов.

6) Уравнение ребра ас можно записать в виде: ребро = a + t(с - a), где a и с - точки на ребре, t - параметр, определяющий положение точки на ребре.

7) Уравнение грани авс можно записать в виде: грань = (x - a) · нормаль = 0, где x - произвольная точка на плоскости, а · обозначает скалярное произведение векторов, и нормаль - вектор, перпендикулярный плоскости грани.

Доп. материал:
1) Вектор ав имеет координаты (3, -2, 1). Найдите его длину.
2) Найдите угол между векторами ав(-1, 4, 2) и ас(2, -3, 5).
3) Вектор ад имеет координаты (1, 2, -3), а вектор ав (-2, 1, 4). Найдите проекцию вектора ад на вектор ав.
4) Векторы ав(-1, 2, 3) и ас(2, 0, -1) образуют стороны треугольника. Найдите площадь этого треугольника.
5) Векторы ав(1, -2, 3), ас(-3, 1, 2) и ад(2, -1, 4) образуют грани пирамиды. Найдите её объем.
6) Напишите уравнение ребра ас, если точки a(1, 2, -1) и с(4, -1, 2) лежат на этом ребре.
7) Напишите уравнение грани авс, если точки a(1, 2, -1), b(2, -1, 3) и с(-1, 0, 2) лежат на этой грани.