1. Найти длину стороны ab треугольника с вершинами a(2; 5), b(14; -4). 2. Найти уравнение сторон ab и bc треугольника

Предмет вопроса: Геометрия треугольника

1. Объяснение:
Для нахождения длины стороны ab треугольника с заданными вершинами a(2; 5) и b(14; -4) нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²),
где d - расстояние между точками a и b, (x₁, y₁) - координаты точки a, (x₂, y₂) - координаты точки b.

Подставим значения координат в формулу:
d = √((14 - 2)² + (-4 - 5)²) = √(12² + (-9)²) = √(144 + 81) = √225 = 15.

Таким образом, длина стороны ab треугольника равна 15.

2. Объяснение:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, можно найти, используя формулу наклона прямой и точку на прямой. Формула уравнения прямой выглядит следующим образом:
y = mx + b,
где m - угловой коэффициент (наклон прямой), b - y-перехват (точка, где прямая пересекает ось y), x и y - координаты точек.

Найдем уравнение стороны ab:
Для этого нужно найти угловой коэффициент m и значение y-перехвата b.

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-4 - 5) / (14 - 2) = -9 / 12 = -3 / 4.

Теперь подставим одну из заданных точек в уравнение:
5 = (-3 / 4) * 2 + b,
5 = -3 / 2 + b,
b = 5 + 3 / 2 = 10 / 2 + 3 / 2 = 13 / 2.

Получили уравнение стороны ab: y = (-3/4)x + 13/2.

Аналогично находим уравнение стороны bc, используя вершины b(14; -4) и c(18; 10).

3. Объяснение:
Чтобы найти угол ψ между прямыми ab и bc, можно использовать угловой коэффициент прямых.
Для этого найдем угловые коэффициенты обеих прямых и используем формулу для нахождения угла между двумя прямыми:
tg(ψ) = |(m₂ - m₁) / (1 + m₁ * m₂)|,
где ψ - угол между прямыми, m₁ и m₂ - угловые коэффициенты прямых ab и bc.

Найдем угловые коэффициенты прямых ab и bc:
m₁ = -3/4, m₂ = 2.
Подставим их в формулу:
tg(ψ) = |(2 - (-3/4)) / (1 + (-3/4) * 2)| = |(11/4) / (1 - 3/2)| = |(11/4) / (-1/2)| = |(11/4) / (-1/2)| = 11 / 2.

Теперь найдем угол ψ, используя арктангенс этого значения:
ψ = atan(11 / 2) ≈ 1.383.

Таким образом, угол ψ между прямыми ab и bc равен примерно 1.383 радиан.

4. Объяснение:
Для нахождения уравнения высоты cd треугольника соединим вершины c(18; 10) и b(14; -4) линией, перпендикулярной стороне ab. Высота cd будет являться отрезком, проведенным от вершины a(2; 5) к линии cb, перпендикулярной стороне ab.

Найдем угловой коэффициент перпендикулярной линии cb:
m₃ = -1 / m₂ = -1 / 2.

Теперь найдем уравнение прямой cb с использованием формулы прямой:
y = m₃x + b₃.
Подставим значения координат вершины c(18; 10) и найдем b₃:
10 = (-1/2) * 18 + b₃,
10 = -9 + b₃,
b₃ = 19.

Получили уравнение прямой cb: y = (-1/2)x + 19.

Так как высота cd перпендикулярна стороне ab, ее угловой коэффициент будет m₃ = 2/3 (произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1).

Теперь найдем уравнение высоты:
y = mx + b.
Подставим значение вершины a(2; 5) и найдем b:
5 = (2/3) * 2 + b,
5 = 4/3 + b,
b = 5 - 4/3 = (15 - 4) / 3 = 11 / 3.

Получили уравнение высоты cd: y = (2/3)x + 11/3.

Для нахождения длины высоты cd нужно найти расстояние между точкой c(18; 10) и линией cd. Можно использовать формулу расстояния от точки до прямой:
d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²),
где A, B, и C - коэффициенты уравнения прямой, x₁ и y₁ - координаты точки.

Уравнение высоты cd: 2x - 3y + 11 = 0.
Подставим значения координат точки c(18; 10) и найдем d:
d = |(2 * 18) - (3 * 10) + 11| / √(2² + (-3)²) = |36 - 30 + 11| / √(4 + 9) = |17| / √13 ≈ 4.57.

Таким образом, уравнение высоты cd треугольника - 2x + 3y - 11 = 0, а ее длина примерно равна 4.57.

Совет:
Удобно использовать графическое представление для визуализации геометрических задач. Нарисуйте треугольник и отметьте заданные вершины на координатной плоскости, затем проведите все необходимые линии и используйте формулы для решения задачи.

Ещё задача:
5. Найти периметр треугольника с вершинами a(2; 5), b(14; -4), c(18; 10).