1. Найдите значения функции f(x)=2cos x при x = 4π/3 и x = -π/4. 2. Постройте график функции y=cos(x+π/6) и определите

Суть вопроса: Trigonometry

Описание:

1. Для нахождения значений функции f(x) = 2cos(x) при x = 4π/3 и x = -π/4, мы подставим значения x в функцию и вычислим результат.

a) При x = 4π/3:
f(4π/3) = 2cos(4π/3)
= 2 * (-1/2)
= -1

b) При x = -π/4:
f(-π/4) = 2cos(-π/4)
= 2 * (√2/2)
= √2

2. Для построения графика функции y = cos(x+π/6) и определения следующего:

a) Интервалы возрастания и убывания функции:
Мы можем найти эти интервалы, анализируя значения функции на разных участках.

Первый шаг - определить период функции, который в данном случае равен 2π.
Затем мы вычитаем π/6 из области определения функции для нахождения стартовой точки на графике.
Интервал возрастания функции это участок, где y увеличивается, а интервал убывания - где y уменьшается.

Таким образом, интервалы возрастания для данной функции:
(-∞, -π/3) и (π/3, +∞),
интервалы убывания:
(-π/3, π/3).

b) Корни функции:
Корни функции это точки, в которых y = 0.
Решим уравнение cos(x+π/6) = 0.
x+π/6 = π/2 или x+π/6 = 3π/2
x = π/2 - π/6 или x = 3π/2 - π/6
x = π/3 или x = 5π/6

c) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-π/3, π/3]:
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке, мы можем взять экстремальные точки.
Ищем значения функции в точках -π/3, 0 и π/3.

f(-π/3) = cos(-π/3 + π/6)
= cos(-π/6)
= √3/2

f(0) = cos(0 + π/6)
= cos(π/6)
= √3/2

f(π/3) = cos(π/3 + π/6)
= cos(π/2)
= 0

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке [-π/3, π/3] это √3/2, а наименьшее значение равно 0.

Демонстрация:

1. Найдите значения функции f(x) = 2cos(x) при x = 4π/3 и x = -π/4.

Решение:

a) При x = 4π/3:
f(4π/3) = 2cos(4π/3)
= -1

b) При x = -π/4:
f(-π/4) = 2cos(-π/4)
= √2

2. Постройте график функции y = cos(x+π/6) и определите следующее:

Решение:

a) Интервалы возрастания функции:
(-∞, -π/3) и (π/3, +∞)

Интервалы убывания функции:
(-π/3, π/3)

b) Корни функции:
x = π/3 или x = 5π/6

c) Наибольшее значение функции на отрезке [-π/3, π/3]: √3/2
Наименьшее значение функции на отрезке [-π/3, π/3]: 0

Совет:
Чтобы лучше понять функции тригонометрии и их графики, полезно изучить основные значения функций в стандартных углах и понять, как изменяются эти значения при изменении значений аргумента.

Задача для проверки:
Найдите значения функции f(x) = cos(x) при x = π, x = 3π/2 и x = 2π.