1. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции f(x)=x+3x² в точке с абсциссой x=-1. 2. Определите

Тема урока: Касательные и нормали к графику функций

Разъяснение:
Чтобы найти уравнение касательной и нормали графика функции в заданной точке, необходимо использовать процесс дифференцирования.

1. Для уравнения касательной:
- Найдите производную функции f(x).
- Подставьте значение x=-1 в полученное уравнение производной, чтобы найти значение производной в данной точке.
- Используя значение производной и заданную точку, запишите уравнение касательной в формате y-y₁=m(x-x₁), где (x₁, y₁) - координаты заданной точки и m - значение производной в этой точке.

2. Для уравнения нормали:
- Используйте найденное значение производной из предыдущего шага.
- Найдите значение коэффициента наклона нормали, который является отрицательным обратным значением производной.
- Используя значение найденного коэффициента наклона и заданную точку, запишите уравнение нормали в формате y-y₁=m"(x-x₁), где (x₁, y₁) - координаты заданной точки и m" - значение коэффициента наклона нормали.

Пример:
1. Уравнение касательной: f(x)=x+3x², x=-1
- Найдем производную функции: f"(x)=1+6x
- Подставим x=-1: f"(-1)=1+6*(-1)=-5
- Уравнение касательной: y-y₁=-5(x-x₁), где (x₁, y₁)=(-1, -2)

2. Интервалы монотонности:
- a) y=x³-3x+2
- Найдите производную функции: f"(x)=3x²-3
- Найдите корни производной функции и проверьте знаки интервалов функции
- б) y=5x²-15x-1
- Найдите производную функции: f"(x)=10x-15
- Найдите корни производной функции и проверьте знаки интервалов функции
- в) y=x³+2x
- Найдите производную функции: f"(x)=3x²+2
- Найдите корни производной функции и проверьте знаки интервалов функции
- г) y=60+45x-3x²-x³
- Найдите производную функции: f"(x)=-x²-6x+45
- Найдите корни производной функции и проверьте знаки интервалов функции

3. Точки экстремума:
- а) y=0,2x^5-4/3x³
- Найдите производную функции: f"(x)=x^4-4x²
- Найдите корни производной функции и проверьте значения второй производной
- б) y=7+12x-x³
- Найдите производную функции: f"(x)=12-3x²
- Найдите корни производной функции и проверьте значения второй производной

Совет: Для получения более глубокого понимания материала рекомендуется практиковаться на решении различных упражнений и задач, используя данные концепции.

1. Касательная и нормаль к графику функции f(x)=x+3x² в точке с абсциссой x=-1:
Для нахождения уравнений касательной и нормали к графику функции необходимо вычислить производную функции и подставить значение абсциссы, x=-1. Первая производная функции f(x) равна f"(x) = 1 + 6x. Затем вычислим значение производной в точке x=-1:
f"(-1) = 1 + 6*(-1) = 1 - 6 = -5.

1) Уравнение касательной в точке x=-1:
y - f(-1) = f"(-1)(x - (-1))
y - (-4) = -5(x + 1)
y + 4 = -5x - 5
y = -5x - 9

2) Уравнение нормали к графику в точке x=-1:
y - f(-1) = -1/f"(-1)(x - (-1))
y - (-4) = -1/(-5)(x + 1)
y + 4 = (1/5)(x + 1)
y = (1/5)x + (1/5)

Демонстрация:
1) Уравнение касательной: y = -5x - 9
2) Уравнение нормали: y = (1/5)x + (1/5)

Совет:
Для лучшего понимания понятий касательной и нормали, рекомендуется визуализировать график функции и указанные прямые на координатной плоскости.

Закрепляющее упражнение:
Найдите уравнение касательной и нормали к графику функции f(x)=2x²-3x+1 в точке с абсциссой x=2.