1. Какова площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника с катетами 6 и 9 см на плоскость, образующую угол

Тема занятия: Геометрия в пространстве

Объяснение:
1. Для нахождения площади ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость нужно использовать формулу площади параллелограмма S = |a × b|, где a и b - это стороны треугольника, перпендикулярные проекции треугольника на плоскость. В данном случае, a и b - это катеты прямоугольного треугольника. Рассчитывая значение, получаем S = |6 × 9 × sin(60°)| = 27√3 (кв. см).

2. Для определения положения точки в пространстве можно использовать координаты точек и уравнения плоскостей.
а) Для определения, лежит ли точка на плоскости, нужно проверить, удовлетворяет ли точка уравнению плоскости. В данном случае, плоскость хОz; точки А(0;6;0) и В(0;3;3) удовлетворяют уравнению x = 0, z = 0, поэтому они лежат в плоскости хОz.
б) Для определения, лежит ли точка на оси у, нужно проверить, равна ли координата у точки 0. В данном случае, только точка А(0;6;0) лежит на оси у, так как ее у-координата равна 6.
в) Для определения, лежит ли точка в плоскости уz, нужно проверить, удовлетворяет ли точка уравнению плоскости. В данном случае, плоскость уz; точки С(3;4;8) и D(1;0;9) удовлетворяют уравнению y = 0, z = 0, поэтому они лежат в плоскости уz.

3. Для доказательства того, что четырехугольник является плоским, можно проверить, лежат ли все его точки на одной плоскости. Для этого можно использовать уравнение плоскости. В данном случае, можно составить уравнение плоскости через точки А, В и С, и проверить, удовлетворяют ли координаты точки D этому уравнению.

4. Для нахождения координат и модуля вектора ВА, можно вычислить разность координат векторов В и А. Координаты вектора ВА будут (5-3;1-(-1);1-2) = (2;2;-1). Модуль вектора ВА можно найти по формуле |ВА| = √(2^2 + 2^2 + (-1)^2) = √9 = 3.

5. Для нахождения угла между векторами СА и СВ, можно использовать скалярное произведение векторов и формулу cosθ = (А·В) / (|А| · |В|), где θ - это угол между векторами. Рассчитывая значение, получаем cosθ = ((1-1)·(2-1) + (3-2)·(3-1) + (0-(-1))·((-1)-1)) / (√6·√6) = (1+2+1)/6 = 4/6 = 2/3. Далее, можно найти угол θ, используя обратный косинус: θ = arccos(2/3).


Дополнительный материал:
1. Найти площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника с катетами 6 и 9 см на плоскость, образующую угол 60° с плоскостью треугольника.
2. Определить, какие из точек А(0;6;0), В(0;3;3), С(3;4;8), D(1;0;9) лежат в плоскости хОz? На оси у? В плоскости уz?
3. Сделать доказательство, что четырехугольник АВСD с вершинами в точках А(2;1;3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1) плоский.
4. Найти координаты и модуль вектора ВА, если заданы точки А(3;−1;2) и В(5;1;1).
5. Вычислить угол между векторами СА и СВ, если даны точки А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;-1).

Совет: Для лучшего понимания геометрии в пространстве, полезно изучить основные понятия и формулы, связанные с трехмерной геометрией, включая векторы, плоскости и координаты точек в пространстве. Регулярная практика решения задач поможет закрепить материал.