№ 1: Каков объем шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, если сторона основания равна 10v3, а угол

Тема: Объемы шаров, вписанных в геометрические фигуры

Пояснение: Чтобы решить эти задачи, мы используем формулу для объема шара: V = (4/3) * π * r^3, где V - объем, π - число пи, r - радиус шара. Однако, нам нужно найти радиусы шаров, чтобы вычислить их объемы.

Решение № 1:
Для нахождения радиуса шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, мы используем свойство подобных треугольников.
Радиус шара будет равен половине диагонали основания пирамиды. Так как основание является правильным четырехугольником, диагонали перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Длина диагонали равна стороне основания умноженной на √2: d = 10√2. Радиус шара: r = 5√2.
Теперь, подставив значение радиуса в формулу для объема шара, находим: V = (4/3) * π * (5√2)^3.

Решение № 2:
Для нахождения радиуса шара, вписанного в правильную треугольную призму, мы также используем свойство подобных треугольников.
Радиус шара будет равен половине высоты призмы, так как она в два раза больше стороны основания. Высота: h = 2s, где s - сторона основания. Так как объем призмы равен 27, мы можем написать: 27 = (1/3) * s^2 * 2s.
Решив это уравнение, найдем s. Затем можно найти радиус шара, подставив s/2 в формулу для объема шара: V = (4/3) * π * (s/2)^3.

Решение № 3:
Чтобы найти радиус шара, вписанного в конус с равносторонним треугольником в осевом сечении, мы используем свойство подобных треугольников.
Радиус шара будет равен половине высоты конуса. По формуле для объема конуса, V = (1/3) * π * r^2 * h, мы можем найти значение высоты h, зная объем конуса 27.
Затем, подставив h/2 в формулу для объема шара: V = (4/3) * π * (h/2)^3.

Совет: При решении подобных задач, всегда обращайте внимание на свойства геометрических фигур и используйте их для нахождения нужных параметров. Также, не забывайте про формулы для объема различных фигур.

Упражнение: Найдите объем шара, вписанного в пирамиду, если длина ребра основания пирамиды равна 12 и угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет 45 градусов.