1) Какие значения x являются экстремумами функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2? 2) Когда функция f(x) = x^2

Содержание: Экстремумы функций

Объяснение: Экстремумы функции - это точки на графике функции, где функция достигает своих наибольших (максимум) или наименьших (минимум) значений. Чтобы найти экстремумы, мы должны проанализировать производную функции и найти места, где она равна нулю или неопределена.

1) Для функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x + 2:
a) Найдем производную функции: f"(x) = 3x^2 - 6x + 32.
b) Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю.
3x^2 - 6x + 32 = 0.
Используя квадратное уравнение, получим: x = (6 ± √(-6^2 - 4 * 3 * 32))/(2 * 3).
Вычисляем корни: x = (6 ± √(-264))/6.
Здесь √(-264) является мнимым числом, так как подкоренное выражение отрицательно, что означает, что у функции нет реальных экстремумов.

2) Для функции f(x) = x^2 * e^x:
a) Найдем производную функции: f"(x) = 2x * e^x + x^2 * e^x.
b) Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти точки, где производная равна нулю.
2x * e^x + x^2 * e^x = 0.
Выносим e^x за скобки: (2x + x^2) * e^x = 0.
Учитывая, что e^x всегда положительно, у нас есть два случая:
1) (2x + x^2) = 0. Решаем это уравнение: x = 0 или x = -2.
2) e^x = 0. Такого решения нет.

Итак, функция f(x) = x^2 * e^x достигает экстремумов в точках x = 0 и x = -2.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию экстремумов функций, полезно знать, как производная функции связана с изменением функции. Изучение графиков функций и их производных также поможет визуализировать и понять экстремумы.

Ещё задача: Найдите экстремумы функции g(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3.