1. Какие координаты имеет четвертая вершина параллелограмма, если известны координаты трех вершин (a(-6; -4), b(-4

Содержание вопроса: Координаты и уравнения прямых и плоскостей

Инструкция:
1. Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма воспользуемся свойством, что противоположные вершины параллелограмма имеют равные координаты. Известные координаты вершин - a(-6; -4), b(-4; 8), c(1; 5), а координаты противоположных вершин a и c равны. Следовательно, координаты четвертой вершины d будут (-4 + 1; 8 - 4), то есть d(-3; 4).

Уравнения диагоналей в параллелограмме задаются следующими уравнениями прямых:
- Уравнение диагонали, проходящей через вершины a и c: y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой, b - свободный член. Чтобы найти m и b, воспользуемся известными точками a и c.

Уравнение диагонали, проходящей через вершины a и c в параллелограмме будет иметь вид:
y = -3/7x + 14/7.

- Уравнение диагонали, проходящей через вершины b и d: y = mx + b, где m - коэффициент наклона прямой, b - свободный член. Чтобы найти m и b, воспользуемся известными точками b и d.

Уравнение диагонали, проходящей через вершины b и d будет иметь вид:
y = 12/7x - 40/7.

2. Для нахождения точки M на оси ординат так, чтобы прямые AM и BM были перпендикулярными, используем свойство перпендикулярных прямых - произведение их коэффициентов наклона равно -1.

Уравнение прямой AM имеет вид: y = mx + b, где A(-3; 1) - известная точка, и нужно найти m и b.

Уравнение прямой BM имеет вид: y = mx + b, где B(3; -7) - известная точка, и нужно найти m и b.

Используя свойство перпендикулярных прямых, мы можем записать:

m_AM * m_BM = -1,

и решить систему уравнений
уравнение прямой AM: 1 = m_AM * (-3) + b_AM,
уравнение прямой BM: -7 = m_BM * 3 + b_BM.

После решения системы уравнений найденные значения m_AM, b_AM, m_BM, b_BM подставляем в уравнение и находим значение y для точки M на оси ординат.

3. Для нахождения точки на оси ординат, которая имеет одинаковое расстояние от начала координат и от прямой, заданной уравнением 3х - 4y + 12 = 0, используем свойство равенства расстояний.

Сначала найдем расстояние от начала координат до прямой. Расстояние между точкой (x0, y0) и прямой Ax + By + C = 0 находится по формуле:

d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).

В нашем случае, A = 3, B = -4, C = 12 и (x0, y0) - начало координат (0, 0). Подставляем значения в формулу и находим расстояние.

Затем рассматриваем точки на оси ординат, где y = y0, и находим расстояние между этой точкой и прямой той же формулой. Находим y0 такое, чтобы расстояние было равно найденному в предыдущем пункте.

4. Чтобы найти значения m и t, для которых плоскости 3х + my + 2z - 7 = 0 и их – 4у – 4z + 3 = 0 будут параллельными, необходимо, чтобы векторы нормалей этих плоскостей были коллинеарными.

Вектор нормали плоскости задается коэффициентами перед x, y и z в уравнении плоскости. В нашем случае вектор нормали первой плоскости будет иметь координаты (3, m, 2), а второй плоскости - (- 4, -4, -4).

Записываем условие коллинеарности векторов, то есть их пропорцию по координатам:
3/(-4) = m/(-4) = 2/(-4).

Решив систему уравнений, находим значения m и t.

Расстояние между параллельными плоскостями можно найти, используя формулу:

d = |(A1x + B1y + C1z + D1) - (A2x + B2y + C2z + D2)| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где A1, B1, C1, D1 и A2, B2, C2, D2 - коэффициенты уравнений плоскостей.

5. Этот вопрос не содержит ясной формулировки или задачи, пожалуйста, сформулируйте его ясно, и я с радостью помогу вам.

Совет: Постоянно тренируйтесь на решении примеров и задач, чтобы лучше усвоить материал по координатам, уравнениям прямых и плоскостей. Пользуйтесь графическим представлением задач, если есть возможность. В этом случае вы сможете лучше визуализировать решения и понять геометрические связи.

Задание: Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку P(2,-1,3) и параллельной вектору n(1,0,2).