1) Как распределить случайные величины X при взятии 4 случайных шаров из коробки, в которой есть 5 желтых и 3 красных

1) Распределение случайных величин при выборе 4 шаров из коробки:

У нас есть коробка, в которой находится 5 желтых и 3 красных шара. Нам нужно распределить случайную величину Х - количество желтых шаров, которые мы выберем при случайном выборе 4 шаров из коробки.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Количество способов выбрать 4 шара из 8 (5 желтых и 3 красных) - это сочетание из 8 по 4. То есть, мы можем вычислить это значение следующим образом:

C(8, 4) = 8! / (4! * (8-4)!) = 70

Таким образом, у нас есть 70 различных комбинаций, при которых мы можем выбрать 4 шара из коробки.

Теперь рассмотрим каждую возможную случайную величину Х:

- X = 0: мы выбираем все 4 красных шара. Это сочетание из 3 по 4, так как у нас есть только 3 красных шара.

C(3, 4) = 3! / (4! * (3-4)!) = 0

- X = 1: мы выбираем 1 желтый шар и 3 красных шара. Это сочетание из 5 по 1 * сочетание из 3 по 3.

C(5, 1) * C(3, 3) = 5! / (1! * (5-1)!) * 3! / (3! * (3-3)!) = 5 * 1 = 5

- X = 2: мы выбираем 2 желтых шара и 2 красных шара. Это сочетание из 5 по 2 * сочетание из 3 по 2.

C(5, 2) * C(3, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) * 3! / (2! * (3-2)!) = 10 * 3 = 30

- X = 3: мы выбираем 3 желтых шара и 1 красный шар. Это сочетание из 5 по 3 * сочетание из 3 по 1.

C(5, 3) * C(3, 1) = 5! / (3! * (5-3)!) * 3! / (1! * (3-1)!) = 10 * 3 = 30

- X = 4: мы выбираем все 4 желтых шара. Это сочетание из 5 по 4, так как у нас есть только 5 желтых шара.

C(5, 4) = 5! / (4! * (5-4)!) = 5

Итак, случайные величины X равны 0, 1, 2, 3, 4, и вероятности каждой величины можно вычислить следующим образом:

P(X = 0) = 0 / 70 = 0
P(X = 1) = 5 / 70 = 1 / 14
P(X = 2) = 30 / 70 = 3 / 7
P(X = 3) = 30 / 70 = 3 / 7
P(X = 4) = 5 / 70 = 1 / 14

Таким образом, мы можем предположить, что случайная величина Х будет равна 0 с вероятностью 0, равна 1 или 4 с вероятностью 1/14 и равна 2 или 3 с вероятностью 3/7.

2) Вероятность выпадения ровно двух двоек при 10 бросках костей:

У нас есть 10 бросков костей и мы хотим найти вероятность того, что ровно 2 из них будут двойками.

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность того, что один бросок будет двойкой, равна 1/6, так как у нас есть 6 различных исходов при броске кости (от 1 до 6) и только одним из них является двойка.

Теперь мы можем применить формулу вероятности биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где:
- P(X = k) - вероятность того, что случайная величина X равна k (в нашем случае k = 2).
- C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k (в нашем случае n = 10, k = 2).
- p - вероятность успеха в каждом испытании (в нашем случае p = 1/6).
- (1-p) - вероятность неудачи в каждом испытании.

Теперь давайте вычислим вероятность выпадения ровно двух двоек:

P(X = 2) = C(10, 2) * (1/6)^2 * (1-1/6)^(10-2)
= 45 * (1/6)^2 * (5/6)^8
≈ 0.214

Таким образом, вероятность выпадения ровно двух двоек из 10 бросков костей составляет примерно 0.214 или 21.4%.