1. Как называется предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента, когда последний стремится

Тема занятия: Математика

Описание:

1. а) Предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, называется производной функции в точке x.
б) Неопределенный интеграл представляет собой неопределенную сумму функции. Он обозначается символом ∫f(x) dx, где f(x) - подынтегральная функция, а dx - дифференциал аргумента.
в) Предел функции – это значение, к которому стремится функция при приближении аргумента к определенной точке или бесконечности.
г) Свойство функции, когда ее предел существует и совпадает с значением функции в данной точке, называется непрерывностью функции.

2. а) Первая производная пути относительно времени представляет собой скорость движения материальной точки в данный момент времени.
б) Угловой коэффициент обозначает изменение значения функции относительно изменения аргумента и представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции.
в) Ускорение движения определяет изменение скорости материальной точки за единицу времени и направление изменения скорости.
г) Скорость в данный момент времени – это производная функции пути относительно времени в данной точке.

Примеры использования:

1. а) Предел отношения приращения функции f(x) = x^2 в точке x = 3 к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, называется производной функции в точке x = 3.
б) ∫f(x) dx, где f(x) = x^2, представляет собой неопределенный интеграл функции f(x).
в) Предел функции f(x) = 1/x при x, стремящемся к 0, равен бесконечности.
г) Функция f(x) = sin(x) непрерывна на всей числовой прямой.

2. а) Первая производная пути s(t) относительно времени t представляет собой скорость движения материальной точки в данный момент времени.
б) Угловой коэффициент графика функции s(t) в точке t = 2 равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.
в) Ускорение движения определяет изменение скорости материальной точки за единицу времени и направление изменения скорости.
г) Скорость в данный момент времени t = 4 определяется производной функции s(t) в точке t = 4.

Совет:

Для лучшего понимания математических понятий, рекомендуется изучать их систематически и выполнять больше практических заданий. Важно также обратить внимание на графическое представление функций, чтобы лучше понять их свойства и взаимосвязи.

Задача на проверку:

1. Вычислите производную функции f(x) = 3x^2 - 2x + 1 в точке x = 4.
2. Найдите значение неопределенного интеграла функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
3. Определите, является ли функция f(x) = 2x^2 - 6x + 4 непрерывной на всей числовой прямой.

Задача 1: Предел и его свойства

a) Каков термин, используемый для указания на это?
Ответ: Предел отношения приращения функции называется производной функции в точке.

Описание: Производная функции в данной точке означает наклон касательной прямой к графику функции в этой точке. Если мы рассматриваем приращение функции в точке x при стремлении приращения аргумента к нулю, то это означает нахождение предела отношения этих приращений. Название "производная" указывает на этот процесс нахождения предела и наклона касательной.

Например: Найдите производную функции f(x) = 2x^2 + 3x - 1 в точке x = 2.

Совет: Для понимания производной функции, полезно разобраться в определении предела и его свойствах. Также стоит обратить внимание на основные правила дифференцирования функций, такие как правило суммы, правило произведения и правило дифференцирования степенной функции.

Дополнительное упражнение: Найдите производную функции f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4 в точке x = -1.


Задача 2: Производная и движение

а) Что представляет собой первая производная пути относительно времени, если материальная точка движется в соответствии с функцией s(t)?
Ответ: Первая производная пути по времени представляет собой скорость движения материальной точки.

Описание: Первая производная функции пути относительно времени является производной функции пути и показывает скорость материальной точки в данный момент времени. Она позволяет нам определить, с какой скоростью материальная точка движется в каждый конкретный момент времени.

Например: Дана функция пути s(t) = 2t^2 - 3t + 1, найти скорость движения в момент времени t = 2 секунды.

Совет: Для лучшего понимания первой производной и ее связи с движением, важно разобраться в основных понятиях, таких как расстояние, путь, скорость и ускорение. Также полезно знание правил дифференцирования и применение их к функции пути.

Дополнительное упражнение: Дана функция пути s(t) = t^3 - 4t^2 + 2t + 1, найти скорость движения в момент времени t = 3 секунды.