№1 Check yourself in the form of a test. Which of the following equations is true? a) cos (180° - a) = sin a

Тест на проверку знаний: Тригонометрия

1. Уравнение:
a) cos (180° - a) = sin a
b) sin (180° — a) = cos a
c) cos (180° — a) = cos a
d) sin (180° - a) = sin a

Пояснение: Чтобы определить, какое уравнение из приведенных является истинным, вспомним тригонометрические формулы. Угол 180° - a является дополнением угла a. Из тригонометрических формул известно, что cos дополнительного угла равен sin угла и sin дополнительного угла равен cos угла. Таким образом, ответом будет:

Ответ: a) cos (180° - a) = sin a

2. Неравенство:
a) sin 100° cos 110° > 0
b) sin 100° cos 110° < 0
c) sin 100° cos 10° < 0
d) sin 100° cos 90° = 0

Пояснение: Для определения истинного неравенства находим значение синуса и косинуса для данных углов. Известно, что sin угла больше нуля в первом и во втором квадрантах, а cos угла больше нуля в первом и четвертом квадрантах. Учитывая эти свойства, получаем:

Ответ: a) sin 100° cos 110° > 0

3. Длина третьей стороны треугольника:
Известно, что две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними составляет 120°.

Пояснение: Для определения длины третьей стороны треугольника воспользуемся законом косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos C,

где c - длина третьей стороны, a и b - длины двух других сторон, C - угол между этими сторонами.

Подставляя известные значения, получим:

c² = 3² + 8² - 2 * 3 * 8 * cos 120°,

c² = 9 + 64 - 48 * (-½) = 97.

Далее извлекаем квадратный корень:

c = √97 ≈ 9,85.

Ответ: a) 97 см.

Совет: Для успешного решения задач по тригонометрии важно уметь применять тригонометрические формулы (синусов, косинусов, тангенсов) и закон косинусов. Регулярные тренировки и практика помогут вам закрепить эти навыки.

Задание для закрепления: Решите уравнение sin (180° + a) = -sin a для неизвестного угла a.

Суть вопроса: Углы и тригонометрия

Описание:
Вопрос №1:
Для решения этой задачи нам нужно знать формулы тригонометрии и свойства тригонометрических функций.
Опция a) cos (180° - a) = sin a неверна. Значение тригонометрической функции cos (180° - a) будет совпадать со значением sin a только в случае, если a = 90°, а это не указано в задаче.
Опция b) sin (180° — a) = cos a неверна. Эти две функции не эквивалентны друг другу.
Опция c) cos (180° — a) = cos a верна. Синус и косинус являются четными функциями, поэтому значения cos (180° — a) и cos a будут равны при любых значениях угла a.
Опция d) sin (180° - a) = sin a верна. Синус является нечетной функцией, поэтому значения sin (180° - a) и sin a будут равны только в случае, если угол a = 0°.

Вопрос №2:
Для решения этой задачи нам также необходимо знание тригонометрических функций и свойств неравенств.
Опция a) sin 100° cos 110° > 0 неверна. Произведение sin 100° и cos 110° будет меньше нуля, так как одна функция отрицательна, а другая положительна.
Опция b) sin 100° cos 110° < 0 верна. Правильный ответ. Произведение sin 100° и cos 110° будет меньше нуля, так как одна функция отрицательна, а другая положительна.
Опция c) sin 100° cos 10° < 0 неверна. Произведение sin 100° и cos 10° будет больше нуля, так как обе функции положительны.
Опция d) sin 100° cos 90° = 0 неверна. Произведение sin 100° и cos 90° будет равно 0, так как одна функция равна нулю.

Вопрос №3:
Для решения этой задачи нам понадобятся знания о теореме косинусов.
Длина третьей стороны треугольника может быть найдена с использованием формулы c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC, где c - третья сторона, a и b - известные стороны, C - угол между известными сторонами.
В данной задаче a = 3 cm, b = 8 cm и C = 120°. Подставляя значения в формулу, мы получаем c^2 = 3^2 + 8^2 - 2*3*8*cos120°. Теперь мы можем вычислить c, взяв корень из обеих сторон уравнения.
Опция a) 97 cm неверна.
Опция b) 7 cm верна.
Опция c) 0 cm неверна, так как длина стороны не может быть нулем или отрицательной.

Совет:
1. Запомните свойства тригонометрических функций, а также формулы и теоремы, связанные с углами и треугольниками.
2. Решайте много практических задач, чтобы закрепить свои знания и навыки в этой области.

Закрепляющее упражнение:
Найдите значение выражения cos(45°) sin(60°) + tan(30°) cot(60°).