Возможно ли, чтобы каждая из 25 испачканных плиток имела нечетное количество соседей, если строители помешали краской

Тема: Паросочетания в графах

Объяснение: Данная задача связана с темой паросочетаний в графах. Предположим, что у нас есть квадратный пол, выложенный из 25 плиток. При этом каждая плитка имеет 4 соседа (сверху, снизу, слева, справа). Если мы окрасим плитки случайным образом, то у каждой плитки будет как минимум 0 и как максимум 4 соседа, но никак не нечетное количество.

Теперь рассмотрим граф, где каждая плитка представлена вершиной, а ребра соединяют вершины соседних плиток. Задача сводится к поиску паросочетания в этом графе таким образом, чтобы каждая вершина имела нечетную степень. Но в данном конкретном случае это невозможно, так как каждая вершина имеет степень 4, которая является четным числом.

Таким образом, ответ на задачу - нет, невозможно так раскрасить квадратный пол из 25 плиток так, чтобы каждая плитка имела нечетное количество соседей.

Совет: Для лучшего понимания темы паросочетаний в графах, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями и правилами построения паросочетаний, а также с теоремами, связанными с этой темой.

Упражнение: Какое наименьшее нечетное количество плиток нужно иметь, чтобы возможно было построить пол с такими требованиями?