С++ Каково количество возможных маршрутов для игрока, чтобы добраться в правый нижний угол прямоугольной таблицы

Содержание: Количество возможных маршрутов в таблице

Пояснение: Чтобы понять, как решить задачу о количестве возможных маршрутов в таблице, мы можем использовать комбинаторику и динамическое программирование. Представьте таблицу размером N × M, где игрок начинает свой путь в верхнем левом углу (клетка (1, 1)) и должен достичь правого нижнего угла (клетка (N, M)).

Для каждой клетки (i, j) в таблице, количество возможных маршрутов до нее равно сумме количества маршрутов до верхней клетки (i-1, j) и количества маршрутов до левой клетки (i, j-1), так как игрок может двигаться только вниз или вправо. Базовый случай - верхняя строка и левый столбец, в которых количество маршрутов равно 1.

Мы можем заполнить таблицу шаг за шагом, начиная с клетки (1, 1) и продвигаясь вниз и вправо до клетки (N, M). В конце, количество маршрутов в правом нижнем углу будет равно количеству возможных маршрутов от начальной до конечной позиции.

Доп. материал: Допустим, у нас есть таблицы размером 3 × 4 (N = 3, M = 4). Количество возможных маршрутов для игрока будет равно 10.

Совет: Для лучшего понимания концепции, можно начать с решения более простых случаев, например, таблицы размером 2 × 2 или 3 × 3. Постепенно увеличивайте размер таблицы, чтобы понять, как количество маршрутов меняется в зависимости от размера.

Задание: Каково количество возможных маршрутов для игрока в таблице размером 5 × 6?

Тема занятия: Количество возможных маршрутов в прямоугольной таблице

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику. В данном случае мы должны определить количество возможных маршрутов для игрока, чтобы добраться из левого верхнего угла прямоугольной таблицы размером N×M в правый нижний угол.

При движении вниз или вправо мы имеем только две возможности на каждом шаге. Таким образом, чтобы добраться из левого верхнего угла в правый нижний угол, нам нужно сделать N-1 шагов вниз и M-1 шагов вправо. Порядок шагов не имеет значения, поэтому мы можем рассматривать это как комбинаторный вопрос.

Используя формулу комбинаторики, называемую «биномиальным коэффициентом», мы можем вычислить количество возможных маршрутов. Формула биномиального коэффициента записывается как C(N, M) и равна N! / (M! * (N-M)!), где «!» обозначает факториал, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

Это значит, что количество возможных маршрутов равно C(N-1, M-1).

Доп. материал: Допустим, у нас есть прямоугольная таблица размером 3×4. Чтобы добраться из левого верхнего угла в правый нижний угол, нам необходимо сделать 2 шага вниз и 3 шага вправо. Следовательно, количество возможных маршрутов равно C(2, 3) = 2! / (3! * (2-3)!) = 2.

Совет: Чтобы лучше понять эту концепцию, можно построить таблицу маршрутов для небольших прямоугольных таблиц и вычислить количество возможных путей с помощью формулы биномиального коэффициента. Применение этого подхода к нескольким различным примерам поможет вам лучше усвоить эту концепцию.

Задача для проверки: Каково количество возможных маршрутов, чтобы добраться в правый нижний угол прямоугольной таблицы размером 5×6?