Какие 6-буквенные слова Маша составляет из букв З, Е, Р, К, А, Л, О, содержащие букву К не больше 4 раз?

Тема: Комбинаторика - Количество различных слов с ограничениями.

Объяснение: Для решения этой задачи вам потребуется применить комбинаторику и правило сложения исключений. Всего у нас есть 8 букв, а слово должно состоять из 6 букв. Чтобы найти количество различных слов, мы рассмотрим несколько случаев:

1. Количество слов, которые содержат букву К ровно 4 раза:
- Мы можем выбрать позиции для буквы К из 6 доступных позиций, и это можно сделать по формуле сочетаний из n по k: C(6, 4) = 15.
- Для оставшихся 2 позиций мы можем выбрать любую из оставшихся 7 букв: 7^2 = 49.
- Общее количество слов: 15 * 49 = 735.

2. Количество слов, которые содержат букву К ровно 3 раза:
- Мы можем выбрать позиции для буквы К из 6 доступных позиций, и это можно сделать по формуле сочетаний из n по k: C(6, 3) = 20.
- Для оставшихся 3 позиций мы можем выбрать любую из оставшихся 7 букв: 7^3 = 343.
- Общее количество слов: 20 * 343 = 6860.

3. Количество слов, которые содержат букву К ровно 2 раза:
- Мы можем выбрать позиции для буквы К из 6 доступных позиций, и это можно сделать по формуле сочетаний из n по k: C(6, 2) = 15.
- Для оставшихся 4 позиций мы можем выбрать любую из оставшихся 7 букв: 7^4 = 2401.
- Общее количество слов: 15 * 2401 = 36015.

4. Количество слов, которые содержат букву К ровно 1 раз:
- Мы можем выбрать позиции для буквы К из 6 доступных позиций, и это можно сделать по формуле сочетаний из n по k: C(6, 1) = 6.
- Для оставшихся 5 позиций мы можем выбрать любую из оставшихся 7 букв: 7^5 = 16807.
- Общее количество слов: 6 * 16807 = 100842.

5. Количество слов, которые не содержат букву К:
- Для каждой позиции в слове у нас есть 7 вариантов выбора буквы: 7^6 = 117649.

Итак, общее количество различных слов, которые Маша может составить из данных букв, с ограничением на количество букв К, не превышающее 4, равно сумме результатов, полученных в каждом из вышеуказанных случаев: 735 + 6860 + 36015 + 100842 + 117649 = 263101.

Пример использования: Сколько различных 6-буквенных слов Маша может составить из букв З, Е, Р, К, А, Л, О, содержащих букву К не больше 4 раз?

Совет: При решении задач комбинаторики следует распределить условия на несколько случаев или категорий, чтобы упростить подсчет всех возможных вариантов. Обязательно используйте формулы комбинаторной арифметики, такие как сочетание и правило сложения.

Упражнение: Сколько различных 5-буквенных слов можно составить из букв А, Б, В, Г, Д, если в каждом слове должны присутствовать все эти буквы?