№ 17 Сколько натуральных чисел, входящих в промежуток от 3·1010 до 5·1010, делятся на 11 и на 100 000, но не делятся

Тема: Числовые последовательности

Разъяснение: Для решения этой задачи нам необходимо найти количество натуральных чисел, которые входят в заданный промежуток и удовлетворяют определенным условиям. Давайте пошагово разберемся в решении.

1. В промежутке от 3·10^10 до 5·10^10 находим количество натуральных чисел, делящихся на 11 и на 100 000. Для этого обратимся к понятию "арифметическая прогрессия".

2. Посчитаем количество чисел, делящихся на 11 в этом промежутке. Для этого необходимо найти длину арифметической прогрессии с первым элементом 3·10^10, последним элементом 5·10^10 и шагом 11. Формула для нахождения длины прогрессии: n = (последний элемент - первый элемент) / шаг + 1.

3. Затем найдем количество чисел, делящихся на 11 и на 100 000. Для этого необходимо найти длину арифметической прогрессии с первым элементом 3·10^10, последним элементом 5·10^10 и шагом 11·10^5. Снова применяем формулу: n = (последний элемент - первый элемент) / шаг + 1.

4. Теперь исключаем числа, которые делятся на 17, 23, 41 и 103. Для этого найдем количество чисел, делящихся на каждое из этих чисел в заданном промежутке по той же схеме, что и шаги 2 и 3.

5. Найденные значения вычитаем из количества чисел, делящихся на 11 и на 100 000, чтобы получить количество чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи.

6. Найдем наименьшее из этих чисел.

Пример: Найдите количество натуральных чисел, входящих в промежуток от 3·10^10 до 5·10^10, которые делятся на 11 и на 100 000, но не делятся на 17, 23, 41 и 103. Какое из этих чисел является наименьшим?

Совет: Чтобы более эффективно решать такого рода задачи, рекомендуется хорошо знать свойства числовых последовательностей и уметь применять формулы для нахождения длины прогрессии.

Упражнение: Найдите количество натуральных чисел, входящих в промежуток от 1·10^8 до 2·10^8, которые делятся на 5 и на 1 000, но не делятся на 7, 13, 19 и 31. Какое из этих чисел является наименьшим? Запишите ответ в виде двух целых чисел (в отдельные поля для ответов без точек и дополнительных символов): сначала количество чисел, затем наименьшее число.