1) АВСD is a trapezoid, АК: KB = 2:7 (fig. 260). а) Prove that РК. ВК = AK - КС. б) Find the ratio of the areas

Тема урока: Трапеция и пропорции

Разъяснение:
а) Дано, что АК: KB = 2:7. Мы хотим доказать, что РК * ВК = AK - КС.
Так как отношение АК: KB = 2:7, мы можем сказать, что АК = (2/7)KB.
Теперь, заметим, что РК = АК - АР, а ВК = АK - КТ.
Подставляя АК = (2/7)KB, получаем РК = (2/7)KB - АР и ВК = (2/7)KB - КТ.
Теперь подставим эти значения в уравнение РК * ВК = AK - КС:

((2/7)KB - АР) * ((2/7)KB - КТ) = АV - КС.
Расприведем и упростим это уравнение. Получаем:
(4/49)K^2B^2 - (2/7)(KB)(АР) - (2/7)(KB)(КТ) + АР * КТ = AK - КС.

Теперь заметим, что АК - КС = AK - (АР + КТ).
Подставим значения в уравнение:
(4/49)K^2B^2 - (2/7)(KB)(АР) - (2/7)(KB)(КТ) + АР * КТ = (2/7)(KB)(AK - (АР + КТ)).
Замечаем, что (2/7)(KB) является общим множителем, поэтому можем сократить его:
(4/49)K^2B^2 - АР * КТ = (2/7)(KB)(AK - (АР + КТ)).

Мы видим, что оба выражения равны, поэтому мы доказали, что РК * ВК = AK - КС.

б) Нам нужно найти отношение площадей и периметров треугольников APK.
Отношение площадей будет равно (площадь треугольника APK) / (площадь треугольника ABC).
Отношение периметров будет равно (периметр треугольника APK) / (периметр треугольника ABC).

Демонстрация:
а) Доказать, что РК * ВК = AK - КС, где АК: KB = 2:7.
б) Найти отношение площадей и периметров треугольников APK в трапеции ABCD.

Совет:
При решении данной задачи используйте свойства трапеции, а также свойства отношений между сторонами подобных фигур.

Задание:
1) В трапеции ABCD диагональ AD делит боковую сторону BC так, что AB:CD = 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABD и CDA.