Знайти катети прямокутного трикутника і його периметр, якщо точка дотику вписаного кола поділить гіпотенузу

Содержание: Вычисление катетов и периметра прямоугольного треугольника

Описание:
Для решения этой задачи нам нужно знать два основных факта о прямоугольных треугольниках и вписанных окружностях:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром вписанной окружности, а точка касания вписанного круга с гипотенузой делит её на две части в соотношении длин катетов.

2. Периметр прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: Периметр = Катет1 + Катет2 + Гипотенуза.

Обозначим длины катетов x и y, а радиус вписанной окружности R.

Так как точка касания окружности делит гипотенузу в отношении 12:18, то мы можем записать следующее уравнение:

12x = 18y

Следовательно, отсюда получаем:

x = (18/12)y = (3/2)y

Зная, что радиус вписанной окружности равен R, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

R = (x + y - гипотенуза)/2

В нашем случае гипотенуза равна x + y, поэтому это уравнение примет вид:

R = (3/2y + y - (3/2y + y))/2
R = (3/2y + y - 3y/2 - y)/2
R = (3/2y - 3y/2)/2
R = (3y - 3y)/4
R = 0

Таким образом, радиус вписанной окружности равен нулю.

Теперь мы можем вычислить катеты прямоугольного треугольника:

x = (3/2)y

Также мы знаем, что периметр равен:

Периметр = x + y + гипотенуза

Периметр = (3/2)y + y + (3/2)y = 4y

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника выражаются через y, а периметр равен 4y.

Демонстрация:
Допустим, y = 10. Тогда x = (3/2)*10 = 15. Периметр прямоугольного треугольника равен 4*10 = 40.

Совет:
Чтобы лучше понять эту тему, полезно вспомнить основные определения прямоугольного треугольника, вписанной окружности и их связь. Также хорошо бы знать основные формулы для решения задач с прямоугольными треугольниками. Практика решения подобных задач поможет сделать материал более понятным.

Дополнительное упражнение:
Решите задачу о прямоугольном треугольнике, в котором точка дотику вписанного кола делит гипотенузу на две части в отношении 5:7, а радиус вписанного кола равен 6. Найдите катеты и периметр этого треугольника.