Знайдіть горизонтальний катет та висоту, опущену на гіпотенузу прямокутного трикутника. У даному випадку

Теория: В прямоугольном треугольнике горизонтальный катет и высота, опущенная на гипотенузу, связаны между собой теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если обозначить горизонтальный катет через \(a\), гипотенузу через \(c\), а проекцию на гипотенузу через \(b\), то:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Теперь, учитывая, что горизонтальный катет является на 10 см короче гипотенузы и на 8 см длиннее проекции на гипотенузу, мы можем записать следующие уравнения:

\[c = a + 10\]
\[a = b + 8\]

Теперь мы можем воспользоваться этими уравнениями для нахождения горизонтального катета и высоты.

Решение:
1. Подставим значение a из второго уравнения в первое уравнение:
\[c = (b + 8) + 10 = b + 18\]
2. Теперь подставим значение c в первое уравнение:
\[(b + 18)^2 = (b + 8)^2 + b^2\]
3. Раскроем скобки:
\[b^2 + 36b + 324 = b^2 + 16b + 64 + b^2\]
4. Упростим уравнение:
\[b^2 - 4b - 260 = 0\]
5. Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или использования квадратного корня:

\[b = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{{(-4)^2 - 4(1)(-260)}}}}{{2(1)}}\]

6. Решив квадратный корень, получим два значения b: \(b_1 \approx -15.5\) и \(b_2 \approx 16.5\). Так как высота не может быть отрицательной, то \(b = 16.5\).

7. Теперь, используя значение b, мы можем найти значение горизонтального катета и высоты, подставив его в соответствующие уравнения:
\[a = b + 8 = 16.5 + 8 = 24.5\]
\[c = a + 10 = 24.5 + 10 = 34.5\]

Таким образом, горизонтальный катет равен 24.5 см, а высота - 16.5 см.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить связь между горизонтальным катетом, высотой и гипотенузой в прямоугольном треугольнике, можно воспользоваться графическим представлением и нарисовать треугольник, отобразив каждую сторону и высоту. Также полезно решать больше практических задач, чтобы потренироваться в применении формул и теоремы Пифагора.

Проверочное упражнение: В прямоугольном треугольнике горизонтальный катет равен 9 см, а гипотенуза равна 15 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Суть вопроса: Геометрия: Прямоугольные треугольники

Разъяснение:

Для решения данной задачи будем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть горизонтальный катет имеет длину x см.

Тогда гипотенуза будет иметь длину x + 10 см, а проекция катета на гипотенузу - x - 8 см.

Используя формулу теоремы Пифагора, получим:

(x + 10)^2 = x^2 + (x - 8)^2

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

x^2 + 20x + 100 = x^2 + x^2 - 16x + 64

Упрощая ещё раз, получим:

20x = 16x - 36

4x = 36

x = 9

Таким образом, горизонтальный катет равен 9 см.

Для вычисления высоты, опущенной на гипотенузу, можно использовать формулу S = (1/2) * a * h, где S - площадь треугольника, a - длина основания, h - высота.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов.

Тогда получим:

S = (1/2) * 9 * (9 + 10) = 99

Используя формулу S = (1/2) * a * h, можем выразить h:

99 = (1/2) * (9 + 10) * h

Объединяя подобные элементы, получим:

99 = (19/2) * h

h = (99 * 2) / 19

h ≈ 10.42

Таким образом, горизонтальный катет равен 9 см, а высота, опущенная на гипотенузу, примерно 10.42 см.

Совет: Для решения подобных задач по геометрии полезно ознакомиться с основными свойствами прямоугольных треугольников и формулой теоремы Пифагора. Также, важно внимательно читать условие задачи и точно записывать все данные.

Задача на проверку: Найдите длину горизонтального катета и высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если горизонтальный катет на 7 см короче гипотенузы, а проекция катета на гипотенузу составляет 12 см.