З ясуйте, якою є відстань між точкою B та площиною α, яка пролягає похиле AB (A ∈ α). Похила має довжину 12

Предмет вопроса: Расстояние от точки до плоскости

Инструкция: Чтобы найти расстояние между точкой B и плоскостью α, мы можем воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Где (x, y, z) - координаты точки B, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости α (где Ax + By + Cz + D = 0).

В данной задаче известно, что плоскость α проходит через точку A, поэтому коэффициенты A, B, C равны коэффициентам нормального вектора плоскости. Так как похила AB образует угол 30° с плоскостью, то нормальный вектор плоскости будет иметь направление, параллельное линии AB.

Теперь мы можем использовать эти значения коэффициентов в формуле расстояния от точки до плоскости, чтобы найти искомое расстояние.

Демонстрация:

Дано:
Координаты точки B: (3, 4, 2)
Длина похилой AB: 12 см
Угол между похилой и плоскостью: 30°

Решение:
Коэффициенты нормального вектора:
A = sin(30°) = 0.5
B = 0
C = cos(30°) = √3 / 2

Замена в формуле расстояния:

d = |0.5 * 3 + 0 * 4 + (√3 / 2) * 2| / √(0.5^2 + 0 + (√3 / 2)^2)
d = |1.5 + √3| / √(0.25 + (√3 / 2)^2)
d = |1.5 + √3| / √(0.25 + 3/4)
d = |1.5 + √3| / √(1 + 3/4)
d = |1.5 + √3| / √(1.75)

Мы можем приближенно вычислить это значение, используя калькулятор:
d ≈ 1.5 + √3 / √1.75

Таким образом, расстояние между точкой B и плоскостью α составляет около 1.60 см (приближенное значение).

Совет: Для понимания и вычисления расстояния от точки до плоскости, необходимо понимать понятие нормального вектора плоскости. Нормальный вектор определяет направление и ориентацию плоскости. Когда вы знаете коэффициенты нормального вектора, подставьте их в формулу расстояния, используя координаты точки, чтобы найти расстояние от нее до плоскости.

Задача на проверку:
Найдите расстояние от точки C(2, -1, 3) до плоскости β, заданной уравнением 2x - 3y + z - 4 = 0.