Який кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо площа основи піраміди становить 72 і основою піраміди є гострокутний

Задача: Нам потрібно знайти кут між площинами (SBC) і (ABC), з урахуванням заданих умов.

Розв'язання:

Спочатку давайте зобразимо задану піраміду ABCS.


Для початку, давайте знайдемо висоту піраміди ABCS, яка проходить через вершини B та C і перпендикулярна до площини основи ABC. Оскільки ABC - рівнобедрений трикутник, то висота співпадає з медіаною, яка ділить основу навпіл. Оскільки AB = BC = 18, висоту дорівнює половині сторони трикутника ABC.

h = AB/2 = BC/2 = 18/2 = 9

Тепер нам потрібно визначити довжину ребра SB, яке нахилене до площини ABC під кутом 30°. Оскільки грані SAB і SAC є перпендикулярними до площини ABC, то кут ASB складається з товщини гострокутного трикутника ABC та куту між площинами (SBC) та (ABC).

За допомогою тригонометрії, можемо знайти ребро SB:

sin(30°) = h/SB
sin(30°) = 9/SB

Тепер розв'яжемо це рівняння для SB:

SB = 9/sin(30°)
SB = 9/0.5
SB = 18

Знайдемо площини трикутників SAB та ABC:

S(SAB) = (1/2) * AB * SB * sin(ASB)
S(SAB) = (1/2) * 18 * 18 * sin(30°)
S(SAB) = 162 * 0.5
S(SAB) = 81

S(ABC) = (1/2) * AB * BC
S(ABC) = (1/2) * 18 * 18
S(ABC) = 162

Тепер, знаючи площини SAB і ABC, ми можемо знайти кут між площинами (SBC) і (ABC) за допомогою наступної формули:

cos(θ) = S(SAB)/S(ABC)

cos(θ) = 81/162
cos(θ) = 0.5

Для знаходження кута між площинами, використовуємо обернену функцію косинуса:

θ = arccos(0.5)
θ ≈ 60°

Відповідь: Кут між площинами (SBC) і (ABC) становить приблизно 60°.

Приклад використання: Знайдемо кут між площинами (SBC) і (ABC) для піраміди з даними сторонами і кутами. Висота піраміди дорівнює половині сторони основи, кут між гранями SAB і SAC дорівнює 30°, а гострокутний рівнобедрений трикутник ABC має сторону AB = BC = 18.

Порада: Щоб краще зрозуміти постановку задачі, намалюйте піраміду ABCS з заданими даними на папері. Візуалізація завжди може допомогти у зрозумінні геометричних задач.

Вправа: Знайдіть кут між площинами (SBC) і (ABC), якщо грані SAB і SAC ,площин SBC і ABC, розташовані на одній прямій, тобто перетинаються одна з одною. Висоту піраміди ABCS з заданою основою AB = BC = 12 також знайдено - 6.