Які значення невідомих сторін прямокутного трикутника ABC (С = 90°), якщо: 1) АС = 3см, cos A = 1/4. 2) BC = 5см

Решение:

1) Дано: АС = 3см, cos A = 1/4.

В данном случае мы знаем гипотенузу С и косинус угла A. Для нахождения катетов прямоугольного треугольника можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Так как cos A = Adjacent/Hypotenuse, то Adjacent = cos A * Hypotenuse. Подставим известные значения: Adjacent = (1/4) * 3см = 3/4 см.

Теперь мы знаем длину противоположенного катета и гипотенузы. По теореме Пифагора, противоположенный катет равен корню из квадрату гипотенузы минус квадрат противоположенного катета.
Leg = sqrt(Hypotenuse^2 - Adjacent^2) = sqrt(3см^2 - (3/4 см)^2) = sqrt(9см^2 - (9/16 см)^2) = sqrt(81см^2 - 81/256 см^2) = sqrt(20736/256 см^2 - 81/256 см^2) = sqrt(20655/256 см^2) ≈ sqrt(80.77) ≈ 8.99 см.

Значение противоположенного катета составляет около 8,99 см.

2) Дано: BC = 5см, sin A = 2/3.

В данном случае мы знаем катет ВС и синус угла A. По аналогичным выкладкам, соблюдая те же тригонометрические соотношения, мы можем найти остальные стороны треугольника.
Если sin A = Opposite/Hypotenuse, то Opposite = sin A * Hypotenuse. Подставим в известные значения: Opposite = (2/3)*5см = 10/3 см ≈ 3,33 см.

Теперь мы знаем длину противоположенного катета и гипотенузы. По теореме Пифагора, противоположенный катет равен корню из квадрата гипотенузы минус квадрат противоположенного катета.
Leg = √(Hypotenuse^2 - Opposite^2) = √(5см^2 - (10/3 см)^2) = √(25см^2 - (100/9 см)^2) = √(225 - (10000/81 см^2)) = √(225*(81/81) - 10000/81 см^2) ≈ √(18225/81 - 10000/81 см^2) = √(8225/81) ≈ √(101,54) ≈ 10,08 см.

Значение противоположенного катета составляет около 10,08 см.

3) Дано: AC = 8см, tg B = 3.

В данном случае мы знаем гипотенузу С и тангенс угла B. По аналогичным выкладкам, соблюдая те же тригонометрические соотношения, мы можем найти остальные стороны треугольника.

Если tg B = Opposite/Adjacent, то Opposite = tg B * Adjacent. Подставим в известные значения: Opposite = 3*8см = 24см.

Теперь мы знаем длину противоположенного катета и прилежащего катета. По теореме Пифагора, противоположенный катет равен корню из квадрата гипотенузы минус квадрат противоположенного катета.
Leg = √(Hypotenuse^2 - Opposite^2) = √(8см^2 - 24см^2) = √(64см^2 - 576см^2) = √(-512см^2) - значение является недопустимым, так как не может быть отрицательным значением.

Поскольку значение стороны является недопустимым, мы не можем решить эту задачу.

4) Дано: AB = 13см, cos B = 4/5.

В данном случае мы знаем гипотенузу В и косинус угла B. По аналогичным выкладкам, соблюдая те же тригонометрические соотношения, мы можем найти остальные стороны треугольника.

Если cos B = Adjacent/Hypotenuse, то Adjacent = cos B * Hypotenuse. Подставим в известные значения: Adjacent = (4/5)*13см = 52/5 см = 10,4 см.

Теперь мы знаем длину прилежащего катета и гипотенузы. По теореме Пифагора, противоположенный катет равен корню из квадрата гипотенузы минус квадрат противоположенного катета.
Leg = √(Hypotenuse^2 - Adjacent^2) = √(13см^2 - (10,4 см)^2) = √(169см^2 - 108.16см^2) = √(169см^2 - 108,16см^2) ≈ √60,84см^2 ≈ 7,8см.

Значение противоположенного катета составляет около 7,8 см.

5) Дано: AC = 6см, cos B = 3/1.

В данном случае мы знаем гипотенузу АС и косинус угла B. По аналогичным выкладкам, соблюдая те же тригонометрические соотношения, мы можем найти остальные стороны треугольника.

Если cos B = Adjacent/Hypotenuse, то Adjacent = cos B * Hypotenuse. Подставим в известные значения: Adjacent = (3/1)*6см = 18см.

Теперь мы знаем длину прилежащего катета и гипотенузы. По теореме Пифагора, противоположенный катет равен корню из квадрата гипотенузы минус квадрат противоположенного катета.
Leg = √(Hypotenuse^2 - Adjacent^2) = √(6см^2 - 18см^2) = √(36см^2 - 324см^2) = √(36см^2 - 324см^2) ≈ √-288см^2 - значение является недопустимым, так как не может быть отрицательным значением.

Поскольку значение стороны является недопустимым, мы не можем решить эту задачу.

6) Дано: AB = 8см, tg B.

В данном случае мы знаем гипотенузу АВ и тангенс угла B. По аналогичным выкладкам, соблюдая те же тригонометрические соотношения, мы можем найти остальные стороны треугольника.

Если tg B = Opposite/Adjacent, то Opposite = tg B * Adjacent.
У нас нет конкретного значения для тангенса угла B, поэтому мы не можем найти значение противоположенного катета.

Advice: При решении подобных задач с помощью тригонометрии, убедитесь, что у вас есть достаточно информации для вычисления всех неизвестных сторон и углов треугольника.

Тема занятия: Решение задач по тригонометрии в прямоугольном треугольнике

Пояснение: Для решения задачи, нам необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. В таком треугольнике один из углов равен 90°, а гипотенуза противоположна этому углу.

1) Дано: АС = 3см, cos A = 1/4.
Мы знаем, что cos A = AC/AB. Тогда, с учетом заданных значений:
1/4 = 3/AB. Решив уравнение, получим AB = 12см.

2) Дано: BC = 5см, sin A = 2/3.
Мы знаем, что sin A = BC/AB. Тогда, с учетом заданных значений:
2/3 = 5/AB. Решив уравнение, получим AB = 7.5см.

3) Дано: AC = 8см, tg B = 3.
Мы знаем, что tg B = AC/BC. Тогда, с учетом заданных значений:
3 = 8/BC. Решив уравнение, получим BC = 8/3 см.

4) Дано: AB = 13см, cos B = 4/5.
Мы знаем, что cos B = AB/BC. Тогда, с учетом заданных значений:
4/5 = 13/BC. Решив уравнение, получим BC = 16.25см.

5) Дано: AC = 6см, cos B = 3/1.
Мы знаем, что cos B = AC/BC. Тогда, с учетом заданных значений:
3/1 = 6/BC. Решив уравнение, получим BC = 2см.

6) Дано: AB = 8см, tg B.
В данном случае у нас не хватает информации для нахождения значения BC.

Совет: Для успешного решения задач по тригонометрии в прямоугольном треугольнике, рекомендуется каk возможно использовать соотношения между сторонами и соответствующими тригонометрическими функциями. Также, помните про использование правильных формул и умение решать уравнения.

Задание: Предположим, в прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 45°, сторона AC равна 10см. Найдите значения сторон AB и BC.