Які значення косинусів у трикутника АВС? Який тип цього трикутника, якщо А(1;−3;4), В(2;−2;5), С(3;1;3)?

Тема вопроса: Косинусы в треугольнике

Инструкция: Чтобы найти значения косинусов в треугольнике ABC, мы должны знать длины всех его сторон. В данной задаче мы имеем координаты вершин треугольника: A(1;−3;4), B(2;−2;5), C(3;1;3). Для начала мы должны найти длины сторон треугольника ABC.

Используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, мы можем найти длины сторон AB, BC и AC. Для примера вычислим длину стороны AB:

AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)

AB = √((2-1)² + (-2-(-3))² + (5-4)²)

AB = √(1² + 1² + 1²)

AB = √3

Аналогично, мы можем вычислить длины сторон BC и AC:

BC = √((3-2)² + (1-(-2))² + (3-5)²) = √11
AC = √((3-1)² + (1-(-3))² + (3-4)²) = √20

Теперь, чтобы найти значения косинусов в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему косинусов:

cosA = (b² + c² - a²) / (2 * b * c)
cosB = (a² + c² - b²) / (2 * a * c)
cosC = (a² + b² - c²) / (2 * a * b)

где a, b, c - длины сторон треугольника, соответствующие углам A, B и C соответственно.

Применяя эту формулу к нашему треугольнику, мы можем найти значения косинусов:

cosA = (√11² + √20² - √3²) / (2 * √11 * √20)
cosB = (√3² + √20² - √11²) / (2 * √3 * √20)
cosC = (√3² + √11² - √20²) / (2 * √3 * √11)

Например: Найдите значения косинусов в треугольнике ABC, если А(1;−3;4), В(2;−2;5), С(3;1;3).

Совет: Для удобства вычислений рекомендуется использовать калькулятор с возможностью работы с корнями.

Ещё задача: Найти длину стороны AC в треугольнике с вершинами A(1;−3;4), B(2;−2;5), C(3;1;3). В ответе округлите до двух десятичных знаков.

Суть вопроса: Тригонометрия и типы треугольников

Описание: В данной задаче мы должны найти значения косинусов углов в треугольнике ABC с вершинами A(1;−3;4), В(2;−2;5), С(3;1;3) и определить тип этого треугольника.

Чтобы найти значения косинусов углов, воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos α = (AB · AC) / (|AB| ⋅ |AC|),

где AB и AC - векторы, их скалярное произведение обозначено AB · AC, а |AB| и |AC| - длины этих векторов.

Для начала найдем векторы AB и AC, а затем вычислим их длины:

AB = B - A = (2 - 1; -2 - (-3); 5 - 4) = (1; 1; 1),
AC = C - A = (3 - 1; 1 - (-3); 3 - 4) = (2; 4; -1).

|AB| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3,
|AC| = √(2^2 + 4^2 + (-1)^2) = √21.

Теперь мы можем вычислить значения косинусов углов:

cos α = (AB · AC) / (|AB| ⋅ |AC|) = (1*2 + 1*4 + 1*(-1)) / (√3 * √21).

Подсчитав данное выражение, мы найдем значения косинусов углов ABC.

Чтобы определить тип треугольника, воспользуемся значениями косинусов углов:
- Если все значения косинусов положительны, то треугольник является остроугольным.
- Если одно из значений косинусов равно нулю, то треугольник является прямоугольным.
- Если одно из значений косинусов отрицательно, то треугольник является тупоугольным.

Например: В треугольнике АВС, значения косинусов углов ABC можно найти, используя формулу cos α = (AB · AC) / (|AB| ⋅ |AC|). Подставив значения векторов и их длин, получим:
cos α = (1*2 + 1*4 + 1*(-1)) / (√3 * √21) = 5 / (3√7).

Совет: Для более легкого понимания треугольников важно хорошо изучить тригонометрию и формулы, связанные с этой темой. Практика в решении различных задач требующих нахождения косинусов и других параметров треугольников поможет лучше усвоить материал.

Закрепляющее упражнение: В треугольнике PQR, заданном координатами вершин P(-1, 2), Q(3, 4), и R(2, -3), найдите значения косинусов углов PQR. Определите тип треугольника PQR.