Яка площа трикутника а1в1с1, якщо вона дорівнює 42 см2 і він є ортогональною проекцією трикутника авс зі сторонами

Тема: Ортогональна проекція трикутника.

Пояснення: Для вирішення цієї задачі ми можемо скористатися властивостями ортогональної проекції трикутника. Ортогональна проекція трикутника є проекцією, яка перпендикулярна до площини трикутника.

Для початку знайдемо площу трикутника авс. Використовуючи формулу Герона, можна знайти площу трикутника по його сторонам:

Площа трикутника авс = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)),

де a, b, c - сторони трикутника, s - півпериметр трикутника: s = (a + b + c) / 2.

Застосовуючи цю формулу до трикутника авс зі сторонами 7 см, 17 см і 18 см, отримаємо:

a = 7 см, b = 17 см, c = 18 см.

s = (7 + 17 + 18) / 2 = 21 см.

Площа трикутника авс = sqrt(21 * (21 - 7) * (21 - 17) * (21 - 18)) = sqrt(21 * 14 * 4 * 3) ≈ 42.38 см².

Отже, площа трикутника авс дорівнює близько 42.38 см².

Далі, знаходимо площу трикутника а1в1с1. За властивістю ортогональної проекції трикутника, площа результуючого трикутника буде дорівнювати площі ортогональної проекції. Таким чином, площа трикутника а1в1с1 також дорівнює 42.38 см².

Щоб знайти кут між площинами авс і а1в1с1, ми можемо скористатися теоремою косинусів. Кут між площинами можна знайти за формулою:

cos(θ) = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1² + a2² + a3²) * sqrt(b1² + b2² + b3²)),

де a1, a2, a3, b1, b2, b3 - вектори нормалей до площин.

У цьому випадку нормалі до площин авс і а1в1с1 співпадають з їхніми сторонами. Таким чином, вектори нормалі будуть мати координати, що відповідають сторонам трикутників. Застосовуючи дану формулу, отримуємо:

cos(θ) = (7 * 7 + 17 * 17 + 18 * 18) / (sqrt(7² + 17² + 18²) * sqrt(7² + 17² + 18²)).

cos(θ) = 442 / (sqrt(666) * sqrt(666)) = 442 / 666 ≈ 0.663.

Отже, кут між площинами авс і а1в1с1 дорівнює близько 48.93 градусів.

Приклад використання: Знайдіть площу трикутника а1в1с1, якщо площа трикутника авс дорівнює 42 см² і він є ортогональною проекцією трикутника авс зі сторонами 7 см, 17 см і 18 см.

Порада: Для кращого розуміння теми, радимо ознайомитися з властивостями ортогональної проекції трикутника та теоремою косинусів.

Вправа: Знаємо, що площа трикутника а1в1с1 дорівнює 63.25 см². Знайдіть площу трикутника авс, якщо він є ортогональною проекцією трикутника а1в1с1 зі сторонами 9 см, 12 см і 15 см. Скільки градусів складає кут між площинами авс і а1в1с1?