Яка площа поверхні отриманого тіла обертання, якщо прямокутний трикутник з катетами довжиною 9 см і 12 см повертається

Тема: Площадь поверхности тела вращения

Инструкция:
Чтобы найти площадь поверхности тела вращения, мы должны использовать формулу для такого тела, которое образуется путем вращения данной фигуры вокруг оси.
В данном случае, прямоугольный треугольник с катетами длиной 9 см и 12 см вращается вокруг более длинного катета.

Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью интеграла, путем вычисления площадей бесконечно малых полосок, образующих поверхность тела при вращении.

Формула для площади поверхности тела вращения в данном случае будет следующей:
S = 2 * pi * integral(y * sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx, a, b)

Где y - функция, описывающая кривую, которая образуется при вращении треугольника, а a и b - точки, ограничивающие ось вращения. Для данной задачи, a = 0 и b = 9 см (длина более длинного катета).

Так как треугольник поворачивается вокруг более длинного катета, мы можем использовать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку (9, 12), чтобы найти y в зависимости от x.
Уравнение прямой имеет вид: y = 4/3 * x

Теперь мы можем выразить dx и dy/dx через x:
dx = dy/ (dy/dx)
dx = dy / (4/3) = 3/4 * dy

Подставив эти значения в формулу, мы можем интегрировать, чтобы найти ответ.

Дополнительный материал:
Найдем площадь поверхности тела вращения:

S = 2 * pi * integral(y * sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx, 0, 9)
= 2 * pi * integral((4/3 * x) * sqrt(1 + (3/4)^2) dx, 0, 9)
= 2 * pi * (3/4) * integral(4x dx, 0, 9)
= 2 * pi * (3/4) * (2x^2 | 0, 9)
= 2 * pi * (3/4) * (2 * 9^2 - 2 * 0^2)
= 2 * pi * (3/4) * 162
= 3 * pi * 162
≈ 482,96 см²

Совет:
Если вы не уверены в своем решении, всегда можно использовать графическое представление, чтобы визуализировать фигуру и легко понять, какая площадь будет образовываться при ее вращении.

Проверочное упражнение:
Что произойдет с площадью поверхности тела вращения, если прямоугольный треугольник будет вращаться вокруг меньшего катета?