Як підтвердити, що трикутник АВС є прямокутним, а також знайти площу трикутника АВС, використовуючи координати його

Тема занятия: Трикутник АВС: прямокутність та площа

Пояснення:
Щоб довести, що трикутник АВС є прямокутним, використовується теорема Піфагора. За ним, якщо квадрат довжини найбільшого боку дорівнює сумі квадратів довжин двох інших боків, то трикутник - прямокутний. Отже, спочатку ми вимірюємо довжини сторін трикутника, використовуючи формулу відстані між двома точками в тривимірному просторі:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2)
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)

Потім ми порівнюємо квадрат найбільшої сторони з сумою квадратів двох інших:
AB^2 = BC^2 + AC^2
BC^2 = AB^2 + AC^2
AC^2 = AB^2 + BC^2

Якщо всі три рівності виконуються, то трикутник АВС є прямокутним. Щоб знайти площу трикутника АВС, ми використовуємо формулу площі трикутника, основану на його сторонах:
S = 0.5 * AB * BC

Приклад використання:
У даній задачі, ми маємо координати вершин трикутника АВС: А(3;1;2), В(1;2;-1) і С(-2;2;1).
1. Розраховуємо довжини сторін:
AB = √((1 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2) = √((-2)^2 + 1^2 + (-3)^2) = √(4 + 1 + 9) = √14
BC = √((-2 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (1 - (-1))^2) = √((-3)^2 + 0^2 + 2^2) = √(9 + 0 + 4) = √13
AC = √((-2 - 3)^2 + (2 - 1)^2 + (1 - 2)^2) = √((-5)^2 + 1^2 + (-1)^2) = √(25 + 1 + 1) = √27

2. Перевіряємо, чи виконується теорема Піфагора:
AB^2 = BC^2 + AC^2: (√14)^2 = (√13)^2 + (√27)^2: 14 = 13 + 27: 14 = 40: Не виконується

Отже, трикутник АВС не є прямокутним.

3. Розраховуємо площу трикутника:
S = 0.5 * AB * BC = 0.5 * √14 * √13 = 0.5 * √(14 * 13) = 0.5 * √182 = √(4 * 13 * 0.5) = √26

Рекомендації:
- Ретельно перевіряйте кожен крок розрахунків, оскільки навіть найменша помилка може призвести до неправильної відповіді.
- Використовуйте калькулятор або електронні таблиці, щоб спростити обчислення.

Вправа:
Знаючи координати трьох вершин трикутника АВС: А(-1;3;4), В(2;1;5) і С(-2;4;2), перевірте, чи є цей трикутник прямокутним, і обчисліть його площу.