Як довести, що площина, проходячи через середини двох сторін трикутника, є паралельною до третьої сторони

Геометрия: Параллельность плоскости через середины сторон треугольника

Разъяснение: Чтобы доказать, что плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и не совпадает с половиной треугольника, мы можем использовать теорему о серединном перпендикуляре.

Рассмотрим треугольник ABC с сторонами AB, BC и AC. Пусть M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Мы хотим доказать, что плоскость, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельная стороне AC и не совпадает с половиной треугольника.

1. Если провести прямую LN через середины сторон AB и BC, она будет параллельна стороне AC, так как MN и AC - это диагонали параллелограмма MABN.

2. Предположим, что плоскость, проходящая через середины сторон AB и BC, совпадает с половиной треугольника ABC. Тогда LN будет пересекать сторону AC в ее середине. Но это противоречит тому, что LN параллельна AC (как было показано в шаге 1).

3. Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельна стороне AC и не совпадает с половиной треугольника.

Демонстрация:
Пусть треугольник ABC имеет стороны AB = 6 см, BC = 8 см и AC = 10 см. Найдите середины сторон AB и BC и докажите, что плоскость, проходящая через эти середины, параллельна стороне AC и не совпадает с половиной треугольника.

Совет: Для лучшего понимания этой теоремы можно нарисовать треугольник ABC и отметить середины сторон AB и BC. Затем нарисуйте линию, соединяющую эти середины, и убедитесь, что она параллельна третьей стороне и не проходит через половину треугольника.

Задание для закрепления:
Постройте треугольник DEF с данными сторонами DE = 5 см, EF = 7 см и DF = 9 см. Найдите середины сторон DE и EF, и докажите, что плоскость, проходящая через эти середины, параллельна стороне DF и не совпадает с половиной треугольника.