Як довести, що площа опуклого чотирикутника, якого діагоналі перпендикулярні, дорівнює половині добутку їх довжин?

Тема: Доведення площі опуклого чотирикутника з перпендикулярними діагоналями

Пояснення: Для доведення цієї властивості спочатку привернемо увагу до того, що діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники. Нехай AB і CD є перпендикулярними діагоналями, а BC і AD - їх довільними з"єднаннями, що перетинаються в точці O. З існуючих аксіом про прямокутні трикутники можна сказати, що трикутники ABC і ACD є прямокутними трикутниками.

Оскільки трикутник ABC є прямокутним, то його площа може бути обчислена як півдобутку довжини однієї з його сторін (у нашому випадку AB) і відповідної висоти, яка в даному випадку дорівнює довжині CD.

Так само трикутник ACD є прямокутним, і його площа може бути обчислена як півдобуток довжини однієї з його сторін (у нашому випадку AD) і відповідної висоти, яка дорівнює довжині BC.

Аби знайти площу всього чотирикутника ABCD, треба додати площу трикутника ABC і площу трикутника ACD.

Приклад використання:
Задача: Знайти площу чотирикутника ABCD, якщо його діагоналі AC і BD перпендикулярні і мають довжини 8 і 6 відповідно.

Розв"язок:
Перш за все, треба знайти довжини сторін чотирикутника. Застосуємо теорему Піфагора для трикутника ABC з відомими довжинами діагоналей:

AC² = AB² + BC²
8² = AB² + BC²
64 = AB² + BC²

Аналогічно, для трикутника ABD отримаємо:
BD² = AB² + AD²
6² = AB² + AD²
36 = AB² + AD²

Маючи систему двох рівнянь:
64 = AB² + BC²
36 = AB² + AD²

Можемо використати ці рівняння для знаходження BC і AD, а потім розрахувати площу чотирикутника за формулою:
Площа ABCD = 0.5 * BC * AD

Порада: Для розв"язання таких задач варто створити трикутники ABC і ACD з відомими довжинами діагоналей і знайти їх площі. Додавши їх площі, ми отримаємо площу чотирикутника ABCD.

Вправа:
1. Знайти площу опуклого чотирикутника, якщо довжини його перпендикулярних діагоналей становлять 10 і 8 відповідно.
2. Якщо ви знаєте, що площа чотирикутника з перпендикулярними діагоналями дорівнює 36 квадратним одиницям, а одна з діагоналей має довжину 9 одиниць, знайти довжину іншої діагоналі.