What is the equation of a parabola with the vertex at the origin and the coordinates of the focus

Название: Уравнение параболы с вершиной в начале координат и координатами фокуса

Разъяснение: Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой. Для данной задачи, поскольку вершина параболы находится в начале координат, знаем, что уравнение параболы будет иметь вид x^2 = 4py, где (0, p) - координаты фокуса.

Чтобы найти значение p, мы должны обратиться к свойству параболы, согласно которому фокусное расстояние равно половине длины директрисы. В данной задаче директриса будет расположена под параболой на расстоянии p единиц от начала координат. Таким образом, длина директрисы будет 2p.

Теперь нам нужно найти координаты точки на директрисе, чтобы найти длину директрисы (2p). Поскольку вершина находится в начале координат, директриса будет параллельна оси x и находится под ней. Значит, координаты этой точки будут (0, -p).

Таким образом, подставляя значения в уравнение параболы x^2 = 4py, получаем x^2 = 4p(-p). Упрощая это уравнение, получаем x^2 = -4p^2.

Дополнительный материал:
Мы знаем, что у параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке (0, 2) уравнение будет иметь вид x^2 = 4(2)y или, упрощая, x^2 = 8y.

Совет:
Для лучшего понимания парабол и их уравнений, рекомендуется изучить свойства парабол, включая фокусное расстояние, расположение директрисы и вершины.

Задача для проверки:
Найдите уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке (0, -3).

Содержание: Уравнение параболы с вершиной на начале координат и координатами фокуса

Объяснение:
Уравнение параболы с вершиной на начале координат (0,0) и координатами фокуса (a,0) имеет следующий вид:
x^2 = 4a*y

Где "a" - расстояние от фокуса до вершины параболы.

Это уравнение основано на определении параболы как множества точек, равно удаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой. В данном случае фокус находится на положительной полуоси x, поэтому координаты фокуса будут (a,0).

Пример:
Дано: Вершина параболы находится в начале координат (0,0), а координаты фокуса равны (3,0)
Найти уравнение параболы.

Решение:
По определению, расстояние от фокуса до вершины параболы равно половине фокусного расстояния (a). А в данном случае фокусное расстояние равно 3.

Таким образом, a = 3/2.

Подставим значение a в формулу:
x^2 = 4(a)y
x^2 = 4(3/2)y
x^2 = 6y

Таким образом, уравнение параболы равно x^2 = 6y.

Совет:
Чтобы лучше понять уравнение параболы, рекомендуется изучить основные понятия, связанные с параболой, такие как вершина, фокус и директриса. Также полезно понять роль каждого элемента в уравнении параболы и его влияние на форму параболы.

Задача для проверки:
Найдите уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке (4,0).